4.3. Визначення переміщень методом безпосереднього інтегрування диференціального рівняння зігнутої осі балки

Короткі теоретичні відомості

При використанні цього методу будемо виходити з диференціального рівняння.

. (4.1)

Щоб одержати рівняння прогинів z і рівняння кутів повороту , необхідно провести інтегрування рівняння (4.1), в результаті чого дістанемо:

,

інтегруючи ще раз, маємо:

де C і D сталі інтегрування.

Таким чином, отримані рівняння кутів повороту

і рівняння прогинів

.

Сталі інтегрування C і D визначаються з граничних умов. Загальна кількість сталих інтегрування дорівнює подвоєній кількості ділянок балки.

Розглянемо приклади застосування цього методу.

Приклад 1. Для консольної балки (рис. 4.7) знайти рівняння прогинів і кутів повороту, а також значення прогину і кута повороту перерізу в точці В.

Маємо:

.

У цьому випадку

.

Рис. 4.7

Отже, диференціальне рівняння зігнутої осі балки в розглянутому випадку набуває вигляду:

. (4.2)

Рівняння (4.2) інтегруємо два рази:

;

Для визначення сталих C і D використовуємо граничні умови при х = 0 z = 0 і . Враховуючи ці умови, знаходимо:

C = 0 і D = 0.

Таким чином, одержуємо рівняння кута повороту

(4.3)

і рівняння прогину

. (4.4)

За формулами (4.3) і (4.4) можна визначити кут повороту і прогин z в будь-якому перерізі балки, яка розглядається. Найбільшого значення ці величини досягають у даному випадку на правому кінці балки, тобто при x = l. Маємо:

;

.

Приклад 2. Для балки на двух опорах (рис. 4.8) знайти рівняння прогинів і кутів повороту, а ткож значення прогину посередині прольоту і кути повороту на опорах.

Маємо:

.

Рис. 4.8

Для балки, яку розглядаємо,

Отже,

. (4.5)

Інтегруючи рівняння (4.5), одержуємо:

;

(4.6)

Граничні умови в даному випадку мають вигляд:

при х = 0 z = 0, при х = l z = 0.

Таким чином, з рівняння (4.6) маємо:

D = 0; .

Звідси

.

Формули для визначення значень z і тепер набудуть такого вигляду:

;

або остаточно

Найбільші кути повороту перерізів у даному випадку будуть у перерізах А і В, тобто на опорах.

Маємо:

при х = 0 ;

при x = l

Найбільший прогин буде в середині прольоту балки, тобто

при х = l/2. Маємо:

.

Для спрощення обчислень (за наявності декількох ділянок

навантаження балки) необхідно дотримуватись таких правил:

1) відлік абсцис всіх ділянок слід вести від одного початку координат крайньої лівої (або правої) точки осі балки;

2) при обчисленні згинальних моментів необхідно розглядати ту частину балки, яка містить початок координат;

3) інтегрування диференціального рівняння слід виконувати без розкриття дужок виду .

4.4. Визначення переміщень балок методом початкових параметрів

Короткі теоретичні відомості:

Якщо на балку будуть діяти декілька зосереджених моментів , декілька зосереджених сил і декілька ділянок рівномірно розподіленого навантаження інтенсивністю (рис. 4.9),

Рис. 4.9

то рівняння зігнутої осі балки можна подати у такому вигляді:

(4.7)

де абсциси точок прикладення зосереджених пар сил , сил відповідно, початків рівномірно розподілених навантажень інтенсивністю . У формулі (4.7) припускається, що початок координат збігається з лівим кінцем балки.

Два початкових параметри із чотирьох у формулі (4.7) є відомими при будь-якому методі закріплення лівого кінця балки. Дійсно, для затиснутого лівого кінця і для шарнірно-опертого лівого кінця і для вільного кінця відомі і . Невідомі один або два початкових параметри знаходять з умов закріплення інших перерізів балки.

Розглянемо приклади застосування методу початкових параметрів.

Приклад 1. Для балки, показаної на рис. 4.10 знайти рівняння прогинів і кутів повороту а також значення прогину і кута повороту перерізу в точці В.

У цьому випадку початкові параметри дорівнюють: ;

Рис. 4.10

З урахуванням цього рівняння вираз (4.7) набуває вигляду:

звідси:

.

При x = l маємо:

Приклад 2. Для заданої консольної балки знайти рівняння прогинів і кутів повороту, а також значення прогину і кута повороту перерізу в точці В (рис. 4.11).

Рис. 4.11

У цьому випадку початкові параметри дорівнюють:

.

Отже, на основні рівняння (4.7) у даному випадку отримаємо:

;

.

Отже, остаточно одержуємо рівняння прогинів і кутів повороту перерізу:

;

.

При x = l маємо:

Приклад 3. Для балки на двох опорах знайти рівняння прогинів і кутів повороту, а також значення прогину в перерізі під силою Р (рис. 4.12).

Для балки, яка розглядається

,

– невідомо.

Для ділянки I :

Рис. 4.12

для ділянки II

Для визначення використаємо умову: при x = l z = 0.

Отже,

Звідси дістаємо

.

Таким чином:

Визначаємо прогин перерізу під силою, тобто при x = a:

У тому окремому випадку, коли , маємо:

Приклад 4. Застосуємо метод початкових параметрів до визначення переміщень в перерізах і для балки, зображеної на рис. 4.13

Рис. 4.13

Дано: Р = 32 кН, q = 14 кН/м, m = 16 кНм.

(Балка двотавр №22 (ДСТУ 8239-89) ,).

Розв’язання: В даному випадку , , . Невідомий початковий параметр .

Рівняння зігнутої осі балки буде мати вигляд:

Невідомий початковий параметр можна визначити із умови на опорі В, при x=8,8 м. z=0. На відрізку

Задовольняючи умову на опорі В, отримаємо рівняння

Звідси

Підставляючи знайдене значення у рівняння зігнутої осі балки, дістаємо остаточне рівняння у такому вигляді:

для ділянки I

;

для ділянки II

;

для ділянки III

;

для ділянки IV

для ділянки V

За допомогою цих рівнянь можна визначити прогин у будь-якому перерізі балки. Розрахуємо, наприклад, прогини балки в перерізах при x=2,8 м та x=6,8 м.

Використовуючи рівняння II-ї ділянки, маємо:

Використовуючи рівняння III-ї ділянки, маємо:

.