13.4. Вільні коливання систем з одним ступенем вільності

Приклад 1. Для балки на двох опорах, яка зображена на

рис. 13.9, потрібно визначити колову частоту  вільних коливань.

Рис. 13.9

Переміщення від статичної дії вантажу застосувавши метод інтеграла Мора і правила Верещагіна визначаємо за формулою:

.

Таким чином,

.

Формула для визначення кругової частоти має вигляд:

(13.4)

далі знаходимо:

.

В окремому випадку, коли а = b = l/2, маємо:

; .

Приклад 2 Для консольної балки, яка зображена на рис. 13.10, потрібно визначити колову частоту  вільних коливань.

Рис. 13.10

Маємо:

.

Отже, в цьому випадку

.

13.5. Розрахунок балки на змушені коливання

Двигун, вагою Q, встановлений на балці (рис. 13.11), робить n_о обертів за хвилину.

Рис. 13.11

Під час роботи двигуна виникає відцентрова сила інерції (де частота збуджувальної сили).

Потрібно:

1. Визначити найбільше напруження, що виникає в балці при коливаннях. Якщо умова міцності не задовольняється, або задовольнятиметься з великим запасом, то необхідно підібрати нові розміри балки. Крім того, для остаточно підібраного перерізу балки повинна виконуватися умова:

де  частота вільних коливань.

2. За якого числа обертів двигуна для остаточно підібраної балки матиме місце явище резонансу? Для цього випадку знайти найбільше напруження в балці.

Примітка: Під час розрахунку слід враховувати силу опору, що прямо пропорційна швидкості руху. Коефіцієнт згасання коливань .

Розрахунок провести без врахування і з врахуванням власної маси балки.

Дано: Q = 2 кН, Р = 1,5 кН, n_o = 960 об/хв, a = 2 м, b = 1 м,

l = 3 м.

Балка двотаврового перерізу №16 (ДСТУ 8239-89),

J_y=873·10^-8 м⁴; W_y=109·10^-6 м³.

Матеріал балки сталь Ст. 30.

Розв’язання:

Визначаємо найбільші напруження, які утворюються в балці при коливаннях.

1. Розрахунок без врахування маси балки

Умова міцності при коливаннях має вигляд:

де і  напруження від статичної дії сили Q і P відповідно

;

 динамічний коефіцієнт з урахуванням сили опору

.

Колову частоту вільних коливань балки можна визначити за формулою:

Кругова частота збуджуючої сили

Визначаємо переміщення від статичної дії вантажу Q.

Для цього розв’язуємо ту ж саму балку зі статичним прикладанням сили Q. Тоді маємо:

Отримуємо:

Розраховуємо частоту власних коливань :

Та частота збуджувальної сили

Перевіряємо виконання умови . Маємо:

тобто умова виконується.

Перевіряємо виконання умови міцності.

Знаходимо напруження від статичної дії сил Q і Р:

Визначаємо динамічний коефіцієнт

Перевіряємо виконання умови міцності

Тобто умова міцності задовольняється.

Оскільки умова міцності задовольняється з великим запасом, а також умова теж задовольняється з запасом, беремо поперечний переріз у вигляді двотавра №14 (ДСТУ 8239-89),(далі всі розрахунки повторюються).

Отже,

Частота власних коливань

Перевіряємо виконання умови . У нашому випадку для двотаврової балки №14

.

Якщо взяти двотавр №14, то виявляється, що умова вже не виконується, тому поки що залишаємо двотавр №16.

2. Розрахунок з урахуванням власної ваги балки

У цьому випадку формула для визначення набуває вигляду:

де Q – вага двигуна; Q₁ – вага балки;  коефіцієнт приведення. Вага балки визначається з табл. сортаменту; вага одного погонного метра балки для №16 дорівнює q = 159 Н/м.

Отримаємо:

Q₁ = 159∙l = 159∙3 = 477 Н.

 знаходиться за формулою, наведеною в задачі на удар (п. 13.2).

Визначаємо величину

Розраховуємо частоту власних коливань:

Інші розрахунки такі ж самі, що й при розрахунку без урахування маси балки.

Остаточні розміри двотавра обираються за результатами даного розрахунку, тобто, беремо двотавр №16.

Знайдемо число обертів двигуна, при якому буде мати місце явище резонансу.

3. Без врахування маси балки

Умова резонансу має вигляд:

де  колова частота, збуджувальної сили, за якої виникає резонанс.

У цьому випадку з умови резонансу маємо = 130 с^-1.

Знаходимо число обертів двигуна, яке відповідає

За такого числа обертів двигуна відбудеться резонанс.

Перевіряємо міцність балки при резонансі:

а) визначаємо динамічний коефіцієнт під час резонансу:

б) найбільше напруження:

Таким чином, умова міцності при резонансі не виконується.

4. Розрахунок з урахуванням маси балки (такий самий, але за основу беремо , отримане з урахуванням маси балки).