Методичні рекомендації

Перед вивченням цього розділу рекомендується повторити прості види деформації: розтягання (стискання), кручення і згинання. Потім слід розібратися в методиці виведення розрахункових формул, зрозуміти принцип незалежності дії сил і умови його застосування.

Вивчення складного опору починають з косого згинання. Нейтральна лінія при косому згинанні вже не перпендикулярна до площини зовнішніх сил, а площина, у якій розташовані прогини при косому згинанні, не збігається з площиною зовнішніх сил. Напруження і деформації при косому згинанні визначаються як сума (алгебрична або геометрична) відповідних значень, які визначені для двох плоских згинань відносно головних осей інерції.

Потрібно пам’ятати, що розрахункові формули у випадку позацентрового розтягання (стискання) виведені в системі координат, які збігаються з головними центральними осями інерції. Тому при розв’язанні задач обов’язково треба знаходити положення центра ваги перерізу і головних осей інерції й визначати геометричні характеристики перерізу відносно цих осей.

При позацентровому прикладенні стискальної сили в перерізі можуть виникати розтягальні напруження. Отже, позацентрове стискання особливо небезпечне для стержнів, виготовлених із крихких матеріалів (цегла, бетон), які чинять незначний опір розтягальним напруженням. У зв’язку з цим необхідно звернути увагу на визначення і побудову ядра перерізу.

Під час вивчення сумісної дії згинання і кручення важливо запам’ятати, який напружений стан виникає в матеріалі і чому при розрахунках необхідно використовувати теорії міцності.

Запитання для самоперевірки

1. Який випадок згинання називається косим?

2. В яких точках поперечного перерізу виникають найбільші напруження при косому згинанні?

3. Як знаходять положення нейтральної лінії при косому згинанні?

4. Як визначають деформації при косому згинанні?

5. Чи може балка з круглим поперечним перерізом сприймати косе згинання?

6. Як знаходять напруження в будь-якій точці поперечного перерізу при позацентровому розтяганні й стисканні?

7. Чому дорівнює напруження в центрі ваги поперечного перерізу при позацентровому розтяганні й стисканні?

8. Яке положення займає нейтральна вісь, коли поздовжня сила прикладена до вершини ядра перерізу?

9. Яке напруження виникає в поперечному перерізі стержня при згинанні з крученням?

10. Як знаходять небезпечні перерізи стержня при згинанні з крученням?

11. В яких точках круглого поперечного перерізу виникають найбільші напруження при згинанні з крученням?

12. Чому зазвичай не враховують дотичні напруження від згинання при сумісній дії згинання з крученням?

13. Як знаходять розрахунковий момент при згинанні з крученням стержня з круглим поперечним перерізом?

14. За якою теорією міцності (третьою або четвертою) отримаують більший розрахунковий момент при заданих значеннях моментів М і М_к?

7. Тонкостінні стержні

7.1. Розрахунок тонкостінного стержня відкритого профілю на позацентрове стискання

Для заданого тонкостінного стержня (поперечний переріз якого показано на рис. 7.1) потрібно:

• визначити центр ваги, положення головних центральних осей і підрахувати головні моменти інерції;

• визначити центр згинання і головний секторіальний момент інерції;

• від стискальної сили Р, прикладеної в точці Б перерізу, побудувати епюри нормальних напружень в долях Р; від осьової поздовжньої сили N; від моменту М_у; від моменту М_z; від бімоменту В;

• побудувати сумарну епюру нормальних напружень у частинах Р;

• визначити допустиму стискальну силу Р і побудувати кінцеву епюру нормальних напружень.

1. Унаслідок симетрії перерізу, центр ваги лежить на осі симетрії у, а сама вісь у є головною центральною віссю. Довільно проводимо вісь z₁. Координата центра ваги перерізу:

Рис. 7.1 (розміри в сантиметрах).

;

см³;

см²;

см.

Визначаємо моменти інерції відносно осей у та z (у, z – головні, центральні осі інерції):

см⁴;

Отже, маємо

.

2. Секторіальна площа являє собою подвійну площу, описану радіусом-вектором РА під час руху точки А по контуру від початку відліку О до деякого значення дуги s. Якщо радіус-вектор обертається за годинниковою стрілкою, приріст площі має знак «плюс», а якщо проти – «мінус». Секторіальна площа вимірюється в квадратних сантиметрах. Ця площа залежить від початку відліку і положення полюса:

.

Будуємо епюру секторіальної площі при довільно вибраному полюсі (рис 7.2).

Початок відліку дуги s потрібно вибирати так, щоб виконувалась умова:

. (а)

Якщо є вісь симетрії, то початок відліку О₁ потрібно розмістити на цій осі симетрії. У цьому випадку умова (а) буде виконана. Епюру показано на рис. 7.3.

Будуємо також епюри y та z, тобто закони зміни відстаней точок контуру від осей y i z (рис. 7.4 і 7.5).

Координати центра згинання:

; .

Рис. 7.2 Рис. 7.3

Розміри в сантиметрах

Рис. 7.4 Рис. 7.5

Оскільки товщина контуру стала, то . У цьому випадку:

; .

Для обчислення інтегралів, які входять у ці формули, можна користуватись правилом Верещагіна.

Розраховуємо:

см⁴;

см;

Відрізки y_c і z_c відкладаються від полюса в напрямку головних центральних осей y i z (рис. 7.6).

Рис. 7.6

Тепер будуємо епюру головної секторіальної площі при центрі згинання P як при головному секторіальному полюсі.

Використовуємо співвідношення:

.

Тут: – секторіальна площа при полюсі ; – те саме при полюсі y, z i – координати точок s і в системі координат y, z; а, b – координати полюса в системі координат , що має початок у точці і паралельні осям y i z.

У цьому випадку:

см; см, = 0.

Отже,

За цією формулою будуємо епюру головної секторіальної площі (рис. 7.7).

Точка 1. ;

Точка 2. см²;

Точка 3. см²;

Точка 4. см²;

Точка 5. см²;

Рис. 7.7

Точка 6. см²;

Точка 7. см²;

Точка 8. см²;

Точка 9. ;

Точка 10. см².

Визначаємо головний секторіальний момент інерції перерізу:

см⁶.

3. Якщо сила стискає, то напруження в будь-якій точці перерізу визначаються за формулою:

.

Уцьому випадку бімомент , отже:

,

де , , – ординати епюр , , у точці прикладення сили .

У нашому випадку:

см², см⁴, см⁴,

см⁶; см; см;

см²;

Отже,

.

Використовуючи цю формулу, будуємо епюри напружень , , і (рис. 7.8–7.11). Потім будуємо сумарну епюру (рис. 7.12).

Рис. 7.8 Рис. 7.9

Рис.7.10 Рис.7.11

Ординати всіх епюр (Рис. 7.8-7.12) необхідно помножити на 10^-3 P/см²

Рис.7.12

Точка 1.

.

Точка 2.

.

Точка 3.

.

Точка 4.

.

Точка 5.

.

Точка 6.

.

Точка 7.

.

Точка 8.

.

Точка 9.

.

Точка 10.

.

В формулах для визначення напруження в точках 1-10 сила Р виражена в Ньютонах (Н).

4. Найбільше за абсолютною величиною напруження .

За умовою міцності МПа.

Отже, . Звідси

.

Будуємо кінцеву епюру нормальних напружень (від сили

Р = 546 кН), (рис. 7.13).

Рис 7.13