35. Особенности математического знания. Онтологический статус математических обьектов

1. Математика – не эмпирическая наука. В отл от ест наук м-ка напрямую не иссл-ет действ-ть, она имеет дело не с предметами природы, а с ид-ми объектами или абстракциями. Мат-е док-во не ссылается на реальность. Это не означает, что математическое знание не имеет отношения к действительности, оно опосредовано абстракциями, идеальными объектами.

2. Математика – формальное знание, где понимание истины состоит в согласованности элементов.

3. Специфика математических абстракций в том, что они отвлекаются от любых индивидуальных свойств предметов природы. Математика оперирует количественными характеристиками, относящимися к множествам, группам. Число не является свойством предмета, это первичная математическая абстракция. Множества - это тоже абстракции.

4. Математика описывает не вещи, а отношения сравнения предметов. Отношения бывают количественные, пространственные. Они более высокого порядка, чем физические, биологические или химические. Математика не ограничена внешними факторами, она не обязана следовать природе.

5. Математика опирается на априорные формы чувственного созерцания - пространство и время. Возможность устанавливать положение различных предметов, перемену мест, отношения последовательности, одновременности связана с тем, что человек обладает особыми "ощущениями" пространственности и временности (по Канту, чистыми формами чувственного созерцания). Любое опытное содержание может быть подведено под категории количества (единство, множество, совокупность); отношения, модальности (возможность - невозможность, существование - несуществование, необходимость - случайность).

6. Математика подчиняется только логике своего языка. Математика использует знаковые системы. Знак – это материальный, чувственно воспринимаемый предмет, который выступает как представитель другого предмета, свойства или отношения (замещает другой предмет). Представление, возникшее в сознании благодаря знаку, есть значение знака (то, к чему отсылает знак). Представление, слившееся со своим значением в некое внутреннее единство, есть символ (например, ∞).

Специфика математики в автономном использования ее языка, т.е. без ссылки на реальность, математические операции совершаются вне обращения к внеязыковой реальности.

Проблема существования математических объектов:

Есть 2 позиции:

1. номинализм: в мире не существует ни множеств, ни чисел как реальных объектов, ибо существует только то, что имеет пространственно-временную форму, существуют отдельные вещи

2. реализм: математические объекты существуют вне нас в силу необходимости, как и объекты реального мира

Концепция языковых каркасов Карнапа: любая математическая теория оперирует абстрактными понятиями, которые находятся в двойном подчинении. Они соотносятся с внешним миром и друг с другом, образуя определенную структуру знаний.

Карнап выделяет:

1. внешний языковой каркас – отношение математических понятий к внешнему миру. С точки зрения Карнапа, проблема отношения математических знаний к объективной реальности, не является научной. Вопрос “обусловлено ли математическое знание объективной реальностью” не разрешим. К этой точки зрения склонны номиналисты.

2. Внутренний языковой каркас – отношение знаков друг к другу. Внутренний язык – система, может быть проанализирован логическими методами. В границах внутреннего каркаса числа, математические объекты реальны, обособлены, самостоятельны. Этой точки зрения придерживаются реалисты.

Математическое знание не исследует напрямую действительность.Оно имеет дело с идеальными объектами. Ценность математического знания состоит в том,что оно описывает не вещи,а отношения.Математика описывает не предметы , а отношения м/д ними. Математика подчинена только своей логике-логике языка математика - наука имеющая дело с знаковыми системами Знак представляет некий предмет и заменяет его.