- •Таганрогский государственный радиотехнический университет
- •Введение
- •1 Численное интегрирование
- •1.1 Основные методы численного интегрирования
- •1.2 Пример выполнения лабораторной работы №1
- •1.3 Варианты заданий к лабораторной работе №1
- •2 Методы решения нелинейных уравнений
- •2.1 Метод половинного деления
- •2.2 Метод хорд (метод линейной интерполяции)
- •2.3 Метод секущих
- •2.4 Метод Ньютона
- •2.5 Пример выполнения лабораторной работы №2
- •2.6 Варианты заданий к лабораторной работе №2
- •3 Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •3.1 Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •3.2. Алгоритм lu-разложения.
- •3.3. Метод прогонки.
- •3.4 Пример выполнения лабораторной работы №3
- •Вводим функцию, реализующую алгоритм прогонки
- •3.5 Варианты заданий к лабораторной работе №3
- •4 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •4.1. Итерационные методы Якоби и Зейделя.
- •4.2. Каноническая форма итерационных методов.
- •4.3. Вариационно-итерационные методы решения слау.
- •4.4 Пример выполнения лабораторной работы №4
- •Задаем матрицу коэффициентов и столбец свободных членов
- •Вводим функцию, реализующую алгоритм метода Зейделя
- •4.5 Варианты заданий к лабораторной работе №4
- •5 Методы решения задачи Коши
- •5.1. Метод Эйлера.
- •5.2. Метод Рунге-Кутта.
- •Пример выполнения лабораторной работы №5
- •5.4 Варианты заданий к лабораторной работе №5
- •6 Методы приближения функций
- •6.1. Интерполяционный полином Лагранжа и Ньютона.
- •6.2 Интерполяционный кубический сплайн.
- •6.3 Понятие о методе наименьших квадратов.
- •6.4 Интерполяционный тригонометрический полином
- •6.5 Пример выполнения лабораторной работы №6
- •Интерполяционный полином Лагранжа.
- •6.6 Варианты заданий к лабораторной работе №6
3.4 Пример выполнения лабораторной работы №3
Решите систему уравнений методом Гаусса и методом LU разложения
Решите систему уравнений методом прогонки
Метод Гаусса для решения СЛАУ.
Задаем матрицу коэффициентов и столбец свободных членов
Проверяем невырожденность матрицы коэффициентов
Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица не вырождена.
Вводим функцию выбора главного элемента с последующим установлением его на главную диагональ
Вызываем функцию выбора главного элемента
Выводим пример работы данной функции
Вводим функцию, реализующую алгоритм прямого хода метода Гаусса с выбором главного элемента
Вызываем данную функцию
Выводим результат работы данной функции
Вводим функцию, реализующую алгоритм обратного хода метода Гаусса
Вызываем данную функцию
Выводим решение СЛАУ и делаем проверку
Метод LU разложения для решения СЛАУ.
Задаем матрицу коэффициентов и столбец свободных членов
Вводим функцию, реализующую алгоритм LU разложения
Вызываем данную функцию
Выводим матрицы L и U
Делаем проверку
Вводим функцию, реализующую алгоритм обратного хода метода Гаусса с нижнетреугольной матрицей L
Вызываем данную функцию
Выводим результат работы функции
Вводим функцию, реализующую алгоритм обратного хода метода Гаусса с верхнетреугольной матрицей U
Вызываем данную функцию
Выводим решение СЛАУ и делаем проверку
Метод прогонки для решения СЛАУ.
Задаем диагонали матрицы коэффициентов и столбец свободных членов
Вводим функцию, реализующую алгоритм прогонки
Выводим результат работы функции
3.5 Варианты заданий к лабораторной работе №3
Задание 1
Решите системы уравнений методом Гаусса и методом LU разложения.
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
Задание 2
Решите системы уравнений методом прогонки.
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
-
титульный лист;
-
постановку задачи (согласно варианту);
-
краткое описание прямых методов расчета СЛАУ;
-
программную реализацию данных методов;
-
выводы о проделанной работе.
Контрольные вопросы и задания
-
Какие методы решения СЛАУ вы знаете?
-
Какое условие применимости метода Гаусса для решения СЛАУ?
-
Какое условие применимости метода LU разложения?
-
Какой из алгоритмов метод Гаусса (прямой или обратный ход) наиболее трудоемкий с точки зрения количества арифметических операций?
-
Получить оценки числа арифметических операций для решения СЛАУ методом Гаусса.
-
Получить оценки числа арифметических операций для решения СЛАУ методом LU разложения.
-
Условие применимости метода прогонки.
-
Получить оценки числа арифметических операций для метода прогонки.
9*. В каком случае метод LU разложения требует меньшего количества арифметических операций для решения СЛАУ, чем метод Гаусса?
10*. Как изменяется условие применимости метода Гаусса для решения СЛАУ, если не используется алгоритм выбора главного элемента?
4 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Итерационные методы позволяет найти последовательность приближений {x(n)}, сходящуюся к точному решению при n, т.е. . Поскольку бесконечные процессы нереализуемы на практике, то обычно выполняется конечное число итераций, т.е. строится конечное множество векторов х(1), х(2), … х(к), причем, задаваясь некоторым малым числом >0 (погрешностью решения) добиваются, чтобы , где - некоторая норма вектора.