6.4 Интерполяционный тригонометрический полином

В некоторых случаях целесообразно использовать другие виды интерполяций. Например, если функция x(t) периодическая, то в качестве интерполирущего многочлена можно взять тригонометрический интерполяционный полином порядка n. Если в качестве системы линейно независимых функций {_k(t)} взять систему функций

1, cos t, sin t, cos 2t, sin 2t, …, cos nt, sin nt ,

то интерполяционный тригонометрический полином имеет вид

.

Для нахождения используют дискретное преобразование Фурье.

Дискретное преобразование Фурье — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его гомоморфизмы применяются в сжатии звука в mp3, сжатие изображений в jpg и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Также дискретные преобразования Фурье помогают решать частные дифференциальные уравнения и выполнять такие операции, как свёртки. Преобразования бывают одномерные, двумерные и даже трехмерные.

Последовательность N действительных чисел x₀, ..., x_N−1 преобразовывается в последовательность из N комплексных чисел X₀, ..., X_N−1 с помощью дискретного преобразования Фурье по формуле:

где i - это мнимая единица. Обратное дискретное преобразование Фурье задается формулой

Поскольку напрямую вычисления дискретного преобразования требует O(N²) операций, то на практике используют более быстрый алгоритм быстрого преобразования Фурье, которое требует O(NlogN) операций.

Дискретное преобразование Фурье является линейным преобразованием, которое переводит вектор временных отсчетов в вектор спектральных отсчетов той же длины. Таким образом преобразование может быть реализовано как умножение квадратной матрицы на вектор:

.

матрица А имеет вид:

Свойства

1) линейность

2) сдвиг по времени

3) периодичность

4) выполняется теорема Парсеваля.

5) симметрии X(k) = X^* (N − k).

Таким образом информацию несут первые N/2 гармоник.

6) обладает спектральной плотностью S(k)=|x(k)|²

7)

В случае четного числа n, из свойства 5,7 следует

Переходим от дискретных значений n к непрерывному аргументу t, таким образом, чтобы выполнялось равенство t_n=nh, при n=0,..,N-1, где h – шаг дискретизации. Формула в случае четного числа узлов для интерполяционного тригонометрического полинома запишется

Аналогичным образом можно получить формулу для интерполяционного тригонометрического полинома в случае нечетного числа узлов, которая запишется следующим образом:

6.5 Пример выполнения лабораторной работы №6

По заданной таблице y_i=y(x_i) значений функции найти y как функцию от x на основе:

а) интерполяционного полинома Лагранжа и Ньютона;

б) интерполяционного кубического сплайна;

в) метода минимальных квадратов для линейной, квадратичной и кубической регрессии.

X	1	3	4	5	6	7	9	11
Y	-1	2	3	9	4	7	2	7

г) интерполяционного тригонометрического полинома

X	0	1	2	3	4	5	6	7
Y	2	-4	3	9	-2	1	7	5