1.2 Пример выполнения лабораторной работы №1

Применим методы численного интегрирования для вычисления интеграла .

Задаем число разбиений

Устанавливаем пределы интегрирования

Вычисляем шаг сетки

Вводим подынтегральную функцию

Рассчитываем точное значение интеграла

Рассчитываем значение интеграла методом левых прямоугольников

Выводим полученное значение

Выводим значение погрешности в случае использования левых прямоугольников

Рассчитываем значение интеграла и погрешности методом правых прямоугольников

Рассчитываем значение интеграла и погрешности методом центральных прямоугольников

Рассчитываем значение интеграла и погрешности методом трапеции

Рассчитываем значение интеграла и погрешности методом Симпсона

1.3 Варианты заданий к лабораторной работе №1

Примените методы численного интегрирования для вычисления следующих заданий.

1. ; 6. ;

2. ; 7. ;

3. ; 8. ;

4. ; 9. ;

5. ; 10. ;

Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1. титульный лист

2. постановку задачи (согласно варианту)

3. краткое описание методов численного интегрирования

4. программную реализацию данных методов

5. выводы о проделанной работе.

Контрольные вопросы и задания

1. Какие методы численного интегрирования вы знаете?

2. Какой из методов численного интегрирования, в вашем случае, оказался наиболее точным и наименее точным?

3. Чему равна погрешность численного интегрирования для выше изложенных методов?

4. Запишите формулы для приближенного вычисления определенных интегралов.

5. Вычислите определенный интеграл при помощи методов численного интегрирования.

6. Для заданного примера найдите теоретическую и практическую погрешность численного вычисления определенных интегралов.

7. Сравните погрешность методов трапеции и центральных прямоугольников.

8. Как еще называется формула Симпсона и почему?

9. Запишите формулу для расчета погрешности.

10.* Запишите формулу Симпсона через линейную комбинацию формул трапеции и центральных прямоугольников.

2 Методы решения нелинейных уравнений

Будем рассматривать задачу приближенного нахождения нулей функции одного переменного, иначе, задачу нахождения корней уравнения вида

.

В общем случае можно говорить лишь о приближенном вычислении корней данного уравнения.

Теорема Больцано–Коши.

Если непрерывная на отрезке функция на концах имеет противоположные знаки, т.е.

,

то на интервале она хотя бы один раз обращается в ноль.

2.1 Метод половинного деления

Предположим, что существует корень на отрезке и знаки и различны (функция меняет знак при переходе через корень ).

Положим и и вычислим значения функции в левом конце отрезка, , и в его середине :. Сравним знаки чисел и . Если эти знаки различны, то корень лежит в интервале ; если же одинаковы, то тогда различны знаки и , и корень лежит в интервале . (Возможен ещё случай ; тогда корень уже найден.) В обоих случаях смены знака корень оказывается отделён на отрезке либо , длина которого ровно в два раза меньше длины исходного отрезка . Обозначим этот отрезок половинной длины через (то есть положим в случае, когда и разных знаков, и в случае, когда и одного знака).

Далее повторим процесс для отрезка : снова отыщем его середину , найдём значение функции и сравним знак этого числа со знаком ; если знаки разные, то корень отделён на , если одинаковые, то на (или же оказывается, что ; тогда корень найден). Длина отрезка, на котором отделён корень, уменьшилась ещё в два раза.

Рис.2.1. Последовательное деление отрезка пополам и приближение к корню

Поступая тем же образом и далее, получаем, что после делений длина отрезка, на котором лежит корень, сокращается в раз и становится равной (если корень не был точно определён на каком-то предыдущем этапе, то есть не совпал с при некотором ). Пусть – заданная точность, с которой требуется отыскать корень. Процесс деления отрезков следует остановить, как только станет верным неравенство . Очевидно, что если при этом положить в качестве корня

,

то расстояние от корня , лежащего где-то в интервале , до середины этого интервала будет не больше , то есть приближённое равенство будет выполнено с нужной точностью.