- •Таганрогский государственный радиотехнический университет
- •Введение
- •1 Численное интегрирование
- •1.1 Основные методы численного интегрирования
- •1.2 Пример выполнения лабораторной работы №1
- •1.3 Варианты заданий к лабораторной работе №1
- •2 Методы решения нелинейных уравнений
- •2.1 Метод половинного деления
- •2.2 Метод хорд (метод линейной интерполяции)
- •2.3 Метод секущих
- •2.4 Метод Ньютона
- •2.5 Пример выполнения лабораторной работы №2
- •2.6 Варианты заданий к лабораторной работе №2
- •3 Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •3.1 Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •3.2. Алгоритм lu-разложения.
- •3.3. Метод прогонки.
- •3.4 Пример выполнения лабораторной работы №3
- •Вводим функцию, реализующую алгоритм прогонки
- •3.5 Варианты заданий к лабораторной работе №3
- •4 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •4.1. Итерационные методы Якоби и Зейделя.
- •4.2. Каноническая форма итерационных методов.
- •4.3. Вариационно-итерационные методы решения слау.
- •4.4 Пример выполнения лабораторной работы №4
- •Задаем матрицу коэффициентов и столбец свободных членов
- •Вводим функцию, реализующую алгоритм метода Зейделя
- •4.5 Варианты заданий к лабораторной работе №4
- •5 Методы решения задачи Коши
- •5.1. Метод Эйлера.
- •5.2. Метод Рунге-Кутта.
- •Пример выполнения лабораторной работы №5
- •5.4 Варианты заданий к лабораторной работе №5
- •6 Методы приближения функций
- •6.1. Интерполяционный полином Лагранжа и Ньютона.
- •6.2 Интерполяционный кубический сплайн.
- •6.3 Понятие о методе наименьших квадратов.
- •6.4 Интерполяционный тригонометрический полином
- •6.5 Пример выполнения лабораторной работы №6
- •Интерполяционный полином Лагранжа.
- •6.6 Варианты заданий к лабораторной работе №6
6.2 Интерполяционный кубический сплайн.
Пусть любыми соседними узлами сетки функция y(x) интерполируется кубическим полиномом S3(x). Его коэффициенты на каждом интервале определяются из условий:
. |
(6.11) |
Ищем кубический сплайн S3(x) в виде
S3(x) = ai + bi (x – xi-1) + ci (x – xi-1)2 + di (x – xi-1)3, |
(6.12) |
xi-1 x xi.
Требуя, чтобы S3(x) из (6.12) удовлетворял условиям (6.11), получим для коэффициентов трехдиагональную систему
с1 = 0
,
cn+1 = 0,
которую решаем методом прогонки.
Для ai справедливо требование ai = yi-1 коэффициенты bi, di находят из формул:
,
,
.
Для погрешности интерполяции справедлива оценка
.
6.3 Понятие о методе наименьших квадратов.
Пусть проводится серия из n опытов. Результатами наблюдений являются численные значения y(xi) некоторой величины. Поставим задачу: представить приближенным способом измеряемую величину y(x) в виде линейной комбинации известных (базисных) функций – gk(x), k=1, 2, …, m, (mn) , чем n, так, чтобы полученная зависимость согласовывалась с результатами наблюдений «наилучшим образом». Словосочетание «наилучшим образом» будет далее пояснено. Итак, будем искать зависимость у(х) в виде
|
(6.13) |
где коэффициенты ck подлежат определению.
В общем случае в силу ошибок в измерениях при проведении опытов или «несовершенства» выбранной системы функций gk(x), k=1, 2, …, m возможно лишь выполнение приближенных равенств
|
(6.14) |
Сформируем разности между левыми и правыми частями приближенных равенств (6.14)
|
(6.15) |
Очевидно, если бы удалось подобрать систему функций gk(x) идеальным образом, а результаты измерений были бы точны, то вектор
,
называемый вектором невязки, состоял бы из нулевых элементов и его длина была бы минимально возможной (равной нулю).
Теперь мы можем уточнить, что следует понимать под приближением «наилучшим образом» зависимости у(х) посредством линейной комбинации базисных функций . Будем требовать, чтобы длина вектора , которая вычисляется по формуле
, |
(6.16) |
была минимально возможной для данной системы функций gk(x), k=1, 2, …, m. То, чем мы можем «управлять» длиной вектора - это выбор коэффициентов ck, k=1, 2, …, m. Далее вместо длины вектора нам удобнее будет пользоваться квадратом длины, который в соответствии с равенствами (6.15) и (6.16) есть
|
(6.17) |
Ясно, что если r2 минимален, то и выбор коэффициентов ck, k=1, 2, …, m наилучший в указанном выше смысле. Будем рассматривать правую часть равенства (6.17) как функцию m переменных, в роли которых выступают коэффициенты ck, k=1, 2, …, m. Тогда необходимое условие экстремума функции r2 состоит в обращении в ноль частных производных, т.е.
|
(6.18) |
Дифференцируя правую часть формулы (6.17) по переменным ck, k=1, 2, …, m как сложную функцию и, приравнивая полученные частные производные нулю, приходим к равенствам:
,
,
Сокращая на 2 обе части полученных равенств, и записывая их в компактной форме, получаем систему
Раскрывая скобки и, перенося известные величины в правые части, в итоге получаем систему, которая называется системой нормальных уравнений:
|
(6.19) |
Заметим, что система (6.19) получена из необходимых условий экстремума функции m переменных. Можно доказать, что в точке m-мерного пространства, которая является решением системы (6.19) выполняются достаточные условия наличия минимума функции , однако, ввиду громоздкости выкладок мы этот вопрос здесь не рассматриваем.
Рассмотренный метод нахождения наилучшего в указанном смысле приближения к неизвестной функциональной зависимости у=у(х), если задана система базисных функций gk(x), k=1, 2, …, m, основанный на нахождении решения системы уравнений (6.19), называется методом наименьших квадратов.