- •Таганрогский государственный радиотехнический университет
- •Введение
- •1 Численное интегрирование
- •1.1 Основные методы численного интегрирования
- •1.2 Пример выполнения лабораторной работы №1
- •1.3 Варианты заданий к лабораторной работе №1
- •2 Методы решения нелинейных уравнений
- •2.1 Метод половинного деления
- •2.2 Метод хорд (метод линейной интерполяции)
- •2.3 Метод секущих
- •2.4 Метод Ньютона
- •2.5 Пример выполнения лабораторной работы №2
- •2.6 Варианты заданий к лабораторной работе №2
- •3 Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •3.1 Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •3.2. Алгоритм lu-разложения.
- •3.3. Метод прогонки.
- •3.4 Пример выполнения лабораторной работы №3
- •Вводим функцию, реализующую алгоритм прогонки
- •3.5 Варианты заданий к лабораторной работе №3
- •4 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •4.1. Итерационные методы Якоби и Зейделя.
- •4.2. Каноническая форма итерационных методов.
- •4.3. Вариационно-итерационные методы решения слау.
- •4.4 Пример выполнения лабораторной работы №4
- •Задаем матрицу коэффициентов и столбец свободных членов
- •Вводим функцию, реализующую алгоритм метода Зейделя
- •4.5 Варианты заданий к лабораторной работе №4
- •5 Методы решения задачи Коши
- •5.1. Метод Эйлера.
- •5.2. Метод Рунге-Кутта.
- •Пример выполнения лабораторной работы №5
- •5.4 Варианты заданий к лабораторной работе №5
- •6 Методы приближения функций
- •6.1. Интерполяционный полином Лагранжа и Ньютона.
- •6.2 Интерполяционный кубический сплайн.
- •6.3 Понятие о методе наименьших квадратов.
- •6.4 Интерполяционный тригонометрический полином
- •6.5 Пример выполнения лабораторной работы №6
- •Интерполяционный полином Лагранжа.
- •6.6 Варианты заданий к лабораторной работе №6
4.3. Вариационно-итерационные методы решения слау.
Преимущество данных методов – они не используют никакой дополнительной информации об операторе А, т.е. 1 и 2, входящие в оценку 1Е А 2Е и необходимые для выбора 0 здесь не требуются. Рассмотрим методы минимальных невязок и скорейшего спуска.
1. Метод минимальных невязок.
|
(4.13) |
Для rk = f – Axk получим равенство, умножив обе части равенства (4.13) на матрицу А
.
Меняя знаки и группируя слагаемые соответствующим образом, получаем:
или
Параметр k+1, будем выбирать из условия минимума невязки rk+1 по норме
rk+1 = rk - k+1 Ark.
Продифференцируем (k+1) по k+1, получим
-2(Аrk, rk) + 2k+1
. |
(4.14) |
2. Метод скорейшего спуска.
Получается из условия минимума энергетической нормы погрешности где zk+1 = xk – x, x – точное решение исходной системы. Поскольку Аzk = Axk – Ax = rk, и учитывая, что
, получим
Дифференцируя по k+1 , получим
(k+1) = -2(rk, rk) + 2k+1(Ark, rk), откуда
|
(4.15) |
4.4 Пример выполнения лабораторной работы №4
Решите систему уравнений методом Якоби, Зейделя, наименьших невязок и методом скорейшего спуска
Задаем матрицу коэффициентов и столбец свободных членов
Вводим начальное приближение решения
Устанавливаем значение погрешности расчета
Метод Якоби для решения СЛАУ.
Вводим функцию, реализующую алгоритм метода Якоби
Вызываем данную функцию
Выводим решение СЛАУ и количество итераций
Выводим значение вектора невязки
Метод Зейделя для решения СЛАУ.
Вводим функцию, реализующую алгоритм метода Зейделя
Вызываем данную функцию
Выводим решение СЛАУ и количество итераций
Выводим значение вектора невязки
Метод минимальных невязок для решения СЛАУ.
Вводим функцию, реализующую алгоритм метода минимальных невязок
Вызываем данную функцию
Выводим решение СЛАУ и количество итераций
Выводим значение вектора невязки
Метод скорейшего спуска для решения СЛАУ.
Вводим функцию, реализующую алгоритм метода скорейшего спуска
Вызываем данную функцию
Выводим решение СЛАУ и количество итераций
Выводим значение вектора невязки
4.5 Варианты заданий к лабораторной работе №4
Решите системы уравнений итерационными методами
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
-
титульный лист;
-
постановку задачи (согласно варианту);
-
краткое описание итерационных методов расчета СЛАУ;
-
программную реализацию данных методов;
-
выводы о проделанной работе.
5 Методы решения задачи Коши
5.1. Метод Эйлера.
Пусть требуется решить задачу Коши: найти функцию u(t) непрерывную при 0 t T, удовлетворяющую при t>0 дифференциальному уравнению и начальному условию при t=0
. |
(5.1) |
Решение задачи (5.1) существует и единственно, если функции f и непрерывны в области D, содержащей точку М0 (t0,u0).
Ставится задача нахождения приближенных значений функции u(t)-y, y1,...,yn в точках t0, t1,..., tn соответственно отрезка [0,Т]. Совокупность точек называется сеткой; точки ti - узлами сетки, i = ti - ti-1 - шагом сетки.
Одним из простейших методов численного решения задачи Коши (5.1) является метод Эйлера, основанный на использовании разностной схемы Эйлера
.
Разностная схема (5.2) называется явной, т.к. значения находятся последовательно, начиная с y0=u0 по явной формуле
yi+1 = yi + f(ti, yi), i = 0, 1, …, n, y0 = u0. |
(5.2) |
В результате получаем приближенные значения функции u(t) в узлах ti сетки , т.е. сеточную функцию y(ti) = yi, i = 0, 1, …, n. Оценим теперь величину аппроксимации разностной схемой Эйлера (5.2) исходной задачи (5.1). Сеточная функция
zi = yi – u(ti) |
(5.3) |
называется погрешностью разностной схемы.
Подставляя yi = zi + u(ti) из (5.3) в уравнение (5.2), имеем
, |
(5.4) |
где
Li = fu(ti, ui + zi), 0 < < 1.
Невязка , которую имеет разностная схема (5.2) на решении задачи (5.1), называется погрешностью аппроксимации разностной схемы (5.2).
Оценим величину i. Для этого, разлагая по формуле Тейлора функцию u(ti+1) в окрестности точки ti, имеем
.
Учитывая, что u(ti) = f(ti, ui), имеем i = 0() или .
Таким образом, разностная схема (5.2) имеет первый порядок аппроксимации.
Докажем сходимость разностной схемы Эйлера (5.2), т.е. что . Действительно, определяя величину zi+1 из (5.4) и оценивая ее, имеем
В этом случае разностная схема (5.2) называется сходящейся и имеющей первый порядок точности. Таким образом, метод Эйлера достаточно прост, но обеспечивает низкую точность.