Пример расчёта моментов инерции тела
Приведённая выше общая формула для определения моментов инерции тела.
Справедлива лишь в том случаае когда имеет место дискретное распределение массы тела относительно оси вращения. Для определения момента инерции тела относительно оси вращения в случае непрерывно распределённой массы используется следующая формула
где: расстояние от оси вращения до элементарной массы тела dmi.
Из тел элементарной мамссы dmi состоит тело вращения массой m.
Р
ассмотрим
расчёт момента инерции цилиндра
относительно оси симетрии.
Весь цилиндр разобьём на кольца имеющих элементарную массу dmi.
- плотность большого цилиндра; dVi – элементарный объём тела массой dmi.
Если необходимо вычислить момент инерции относительно некоторой оси паралельной оси проходящей через центр масс тела, то удобно потьзоваться теореммой Гюгенса – Штейнера.
Iс=I0+ma²
Где: Iс – момент инерции тела относительно исходной оси; I0 – момент инерции того же тела относительно оси паралельной искомой и проходящей через центр масс тела; m – маса тела; a – расстояние между осями.
Кинетическая энергия вращательного движения
Р
ассмотрим
абсолютно твёрдое тело тоесть тело
которое под воздействием внешних сил
не подвергается деформации. Предпологаемчто
тело вращается вокруг неподвижной оси
(О;О)
Расмотрим материальную точку массой mi. ri – радиус вектор направлен от некоторой точки А находящейся на оси данной материальной точки. Взяв ещё несколько материальных точек мы также можем определить их линейные скорости. Сумарная кинетическая энергия данного тела вращения равна сумме кинетических энергий всех материальных точек образующих данное тело.
Учитывая что Vi=*ri; ri – расстояние от оси вращения до данной точки перепишем последнее равенство.
- Выражение для определения кинетической
энергии
вращательного движения абсолютно твёрдого тела
В том случае если некоторое тело совершает как поступательное так и вращательное движение, то его суммарная кинетическая энергия состоит из кинетической энергии поступательного и и вращательного движения.
Т=Тв+Тп
П
римером
может служить колесо
VC – скорость центра масс колеса.
Выведем основное уравнение динамики вращательного движения используя понятие работа.
Рассмотрим некоторое тело вращающееся вокруг неподвижной оси О.
Рассмотрим некоторую материальную точку находящуюся на данном теле вращения. Предпологаем что вращение происходит под действием силы F приложенной к данной точке А как показано на рисунке. Под действием сил материальная точка преобретает ускорение и скорость и за малый промежуток времени dt совершает элементарное перемещение dL с некоторой линейной скоростью V. Данному линейному перемещению dL ставим соответственно угловое перемещение d которое совершает данное тело. Элементарная работа dA по перемещению материальной точки на величину dL идёт на приращение кинетической энергии данного тела вращения.
dT=dA
dT – приращение кинетической энергии; dA – приращение работы.
Введём между вектором силы F и между радиус вектором r проведённом от оси вращения к данной материальной точке.
dA=F*dL=F*dL*cos=Fsin*dL
Учитывая что dL может быть определён как r*d последнее выражение можем переписать
dA=F*sin*d
Величина F*sin*d может быть определена
Mf=Fsin*r – модуль силы
dA=M*d
I*d=Md
Поделим левую и правую части данного уравнения на промежуточное время dt в течении которого совершается данное перемещение.
I=M
Основное уравнение динамики вращательного движения при использовании работы.