Закон сохранения момента импульса

Рассмотрим вращение абсолютно твёрдого тела отностельно оси. Выберем точку наблюдения 0 и привяжем к ней систему координат. Угловая скорость будет направлена вверх. Рассмотрим некоторую точку находящююся на данном теле вращения положение которой относительно точки 0 определяется с помощью радиус вектора Ri.

V=[*Ri]

Данная точка имеет линейную скорость V.

Введём понятие момента импульса материальной точки относительно точки наблюдения 0. Момент импульса равен векторному произведению ri на Pi где P – импульс итой материальной точки (точка а)

Li=[ri*Pi]

Pi=mi*Vi

Mi - масса итой точки.

Из представленного выражения для момента импульса Li можно определить направление вектора Li. Направленеи определяется с помощью правила правой тройки.

Учитывая что вектора ri и Vi взаимно перпендикулярны, то модуль вектора Li можно определить

Li=ri*mi*Vi=ri*mi**Ri

R – расстояние от оси до данной материальной точки.

V=*ri*sin=*Ri

Определим проекцию вектора Li на ось Z

Lz=Li*cos=mi*ri*Ri*cos=mi**Ri²

Где:  - угол между вектором Li и осью Z

Момент импульса является аддитивным интегралом движения. Это значит что для нахождения момента импульса всей системы нужно данное тело разбить на части (на подсистемы) определить момент импульса каждой подсистемы, а момент импульса всего тела определяют как сумму моментов импульсов всех подсистем. Поэтому проекция момента импульса на ось Z всего тела будет равна сумме Lzi.

где: n – число подсистем данной системы.

Учитывая что ось не подвижна значит каждая точка тела имеет одинаковую угловую скорость.

Величина получила название момента инерции тела. Это мера инертности при вращптельном движении. Эта величина зависит не только от массы тела (от масс mi материальных точек образующих данное тело), но и от расположения данной массы относительно оси вращения. Момент инерции относительно оси вращения. За распределение массы материальной точки относительно оси вращения отвечает расстояние Ri от оси вращения до материальной точки фигурирует в выражении для момента инерции.

Величину mi*Ri² можно определить как момент инерции итой материальной точки. Таким образом проекция момента импульса тела на ось Z определяется как

Lz=I*ω

Где: L - момент импульса тела; ω – угловая скорость тела вращения; I – момент инерции данного тела относительно неподвижной оси вращения.

Ось симетричным называется такое тело у которого ось вращения (неподвижная) является осью симметрии. Однородным называется такое тело у которого плотность вовсех точках будет одинаковой. Для всех остальных тел в общем случае L не сонаправлен с угловой скоростью и имеет место совпадение направлений составляющих вектора L вдоль оси вращения и угловой скорости. Определим условие при которых момент импульса тела вращения сохраняется во времени. Для простоты рассмотрим случай ось симметричного однородного тела, хотя условия сохранения момента импульса тела полученные на данном примере могут быть применимы к любым другим телам.

Продифференцируем момент импулса.

где: mi*ai – равнодействующая всех внешних сил действующих на итую татериальную точку. Величина Mi=[ri*Fi]

Величина численно равная векторному роизведению Fi по ri называется моментом силы действующей на итую точку относительно некоторой точки наблюдения которая определяет положение материальной точки с помощью радиус вектора ri.

Таким образом

Величину суммы Mi можно трактовать как трактовать как сумарный момент внешних сил действующих на данное тело относительно точки наблюдения.

Данное уравнение является ддной из разновидностей динамики вращательного движения.

Первая производная момента времени момена импулься по времени равна суммарному моменту внешних сил действующих на тело (Основное уравнение динамики вращательного движения).

Учитывая что для ось симетричного однородноготела

L=I*

Получаем:

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения можно записать и в такой форме

I*=М

Произведение углового перемещения на угловое ускорение равно сумарному моменту внешних сил действующих на тело.

Из основного уравнения динамики вращательного движения можно установить условие выполнения закона сохранения момента импульса во времени. Из данного закона следует условие выполнения закона сохранения момента импульса.

Тоесть в момент времени импульс тела (системы) сохраняется во времени в том случае если сумарный момент силы действующий на тело равен нулю.