- •Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
- •Програма курсу
- •Предмет диференціальної геометрії. Історичний огляд розвитку диференціальної геометрії
- •Тема 1. Вектор-функція скалярного аргументу
- •1.1. Операції над сталими векторами та їх застосування
- •1.2. Вектор-функція скалярного аргументу
- •1.3. Границя вектор-функції
- •1.4. Неперервність вектор-функції
- •1.5. Похідна вектор-функції
- •1.6. Формула Тейлора
- •1.7. Інтеграл від вектор-функції
- •1.8. Вектор сталої довжини
- •Контрольні питання до теми 1
- •Тема 2. Поняття кривої. Регулярна крива і способи її задання
- •2.1. Поняття кривої
- •2.2. Способи аналітичного задання просторової кривої
- •2.3. Випадок плоскої кривої
- •Контрольні питання до теми 2
- •Перелічіть способи аналітичного задання просторової кривої. Запишіть відповідні рівняння. Які умови є достатніми для того, щоб ці рівняння визначали регулярну криву?
- •Тема 3. Дотична пряма і супровідний тригранник кривої
- •3.1. Дотична пряма просторової кривої
- •3.2. Нормальна площина просторової кривої
- •3.3. Дотична і нормаль плоскої кривої
- •3.4. Стична площина кривої
- •3.5. Супровідний тригранник кривої
- •Контрольні питання до теми 3
- •Тема 4. Поняття теорії кривих, пов’язані з поняттями кривини та скруту
- •4.1. Довжина дуги кривої. Натуральна параметризація
- •4.2. Кривина кривої, заданої в натуральній параметризації
- •4.3. Кривина кривої в довільній параметризації
- •4.4. Кривина плоскої кривої
- •4.5. Скрут кривої, заданої в натуральній параметризації
- •4.6. Скрут кривої в довільній параметризації
- •4.7. Формули Френе
- •1. ; 2.; 3..
- •Контрольні питання до теми 4
- •Список використаної та рекомендованої літератури
- •Додаток 1 Питання для підготовки до вхідного контролю з навчальної дисципліни «Диференціальна геометрія та топологія»
- •Додаток 2
- •Завдання вхідного контролю з навчальної дисципліни
- •«Диференціальна геометрія та топологія»
- •Варіант 1
- •Варіант 2
- •Варіант 3
- •Варіант 4
- •Варіант 5
- •Варіант 6
- •Варіант 7
- •Варіант 8
- •Варіант 9
- •Варіант 10
- •Додаток 3 Тестовий контроль з теорії кривих Тест 1. Вектор-функція скалярного аргументу
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих. Якщо правильних відповідей декілька, перелічити їх усі.
- •2. Вставити пропущені слова так, щоб одержалось правильне твердження.
- •Тест 2. Поняття кривої. Регулярна крива і способи її задання
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих. Якщо правильних відповідей декілька, перелічити їх усі.
- •Тест 3. Дотична пряма і супровідний тригранник кривої
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих. Якщо правильних відповідей декілька, перелічити їх усі.
- •Пов’язані з поняттями кривини та скруту
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих.
- •2. Вставити пропущені слова так, щоб одержалось правильне твердження.
- •Зоря Валентина Дмитрівна,
1.3. Границя вектор-функції
Нехай вектор-функція визначена в деякому околі точки, крім, можливо, самої точки.Сталий векторназиваєтьсяграницею вектор-функції при, якщо різниця між ними є нескінченно малим вектором: , тобто . |
Позначення: .
Отже, кожну вектор-функцію можна подати як суму границі і нескінченно малого вектора: .
Теореми про границі
Теорема 1. Якщо границі вектор-функцій і скалярної функціїіснують, то 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. . |
Доведемо, наприклад, властивість 4.
□ Згідно з умовою теореми й означенням границі вектор-функції маємо:
, .
Тоді
. ■
1.4. Неперервність вектор-функції
Як і для скалярної функції, можна дати декілька означень неперервної вектор-функції.
Вектор-функція називаєтьсянеперервною в точці , якщо існує її границя при , яка дорівнює значенню векторної функції в цій точці: , тобто . |
Вектор-функція називаєтьсянеперервною в точці , якщо нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст вектор-функції , де . |
Властивості неперервних вектор-функцій:
Теорема 2. Якщо вектор-функції і скалярна функціяf(t) визначені на множині U точок прямої і неперервні в точці , то в точціє неперервними їх сума та всі добутки: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. . |
Теорема 3. Функція неперервна в точцітоді і тільки тоді, коли скалярні функції неперервні в цій точці. |
Вектор-функція називається неперервною на множині U, якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини. |
1.5. Похідна вектор-функції
Нехай , .
Нехай вектор-функція визначена в деякому околі точки.Похідною векторної функції у точці називається границя відношення приросту функції до відповідного приросту аргументу, коли приріст аргументу наближається до 0: , якщо ця границя існує і скінченна за модулем. |
Вектор-функція , яка має похідну в точці, називається диференційовною в точці t0 . |
З означення границі вектор-функції випливає, що
, де ,.
Отже, приріст диференційовної в точці вектор-функції можна подати у виді: .
Звідси випливає, що диференційовна в точці вектор-функціяє неперервною в цій точці.
Обернене твердження, взагалі кажучи, не є правильним.
Диференціалом векторної функції називається головна частина приросту векторної функції:. |
Властивості диференційовних вектор-функцій:
Теорема 4. Нехай векторні функції ,, та скалярна функція f(t) визначені на та диференційовні в точці . Тоді в цій точці диференційовні сума та всі можливі добутки їх, причому: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. . |
Для прикладу наведемо доведення твердження 4.
□ Позначимо , тоді
;
.
Скориставшись неперервністю вектор-функції , умовою диференційовності вектор-функцій , та теоремою 1, перейдемо до границі при в одержаному співвідношенні. В результаті матимемо:
..■
З теореми 4 випливають відповідні властивості диференціалів вектор-функцій. Наприклад:
Похідною другого порядку вектор-функціїназивається похідна вектор-функції:. |
Аналогічно визначаються похідні вектор-функції вищих порядків.
Регулярною вектор-функцією класу називається вектор-функція, яка на області визначення має неперервні похідні до -го порядку включно. Вектор-функція класу =1називається гладкою. |
Позначення: – множина всіх векторних та скалярних функцій, які в кожній точці мають неперервні похідні до -го порядку включно.