- •Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
- •Програма курсу
- •Предмет диференціальної геометрії. Історичний огляд розвитку диференціальної геометрії
- •Тема 1. Вектор-функція скалярного аргументу
- •1.1. Операції над сталими векторами та їх застосування
- •1.2. Вектор-функція скалярного аргументу
- •1.3. Границя вектор-функції
- •1.4. Неперервність вектор-функції
- •1.5. Похідна вектор-функції
- •1.6. Формула Тейлора
- •1.7. Інтеграл від вектор-функції
- •1.8. Вектор сталої довжини
- •Контрольні питання до теми 1
- •Тема 2. Поняття кривої. Регулярна крива і способи її задання
- •2.1. Поняття кривої
- •2.2. Способи аналітичного задання просторової кривої
- •2.3. Випадок плоскої кривої
- •Контрольні питання до теми 2
- •Перелічіть способи аналітичного задання просторової кривої. Запишіть відповідні рівняння. Які умови є достатніми для того, щоб ці рівняння визначали регулярну криву?
- •Тема 3. Дотична пряма і супровідний тригранник кривої
- •3.1. Дотична пряма просторової кривої
- •3.2. Нормальна площина просторової кривої
- •3.3. Дотична і нормаль плоскої кривої
- •3.4. Стична площина кривої
- •3.5. Супровідний тригранник кривої
- •Контрольні питання до теми 3
- •Тема 4. Поняття теорії кривих, пов’язані з поняттями кривини та скруту
- •4.1. Довжина дуги кривої. Натуральна параметризація
- •4.2. Кривина кривої, заданої в натуральній параметризації
- •4.3. Кривина кривої в довільній параметризації
- •4.4. Кривина плоскої кривої
- •4.5. Скрут кривої, заданої в натуральній параметризації
- •4.6. Скрут кривої в довільній параметризації
- •4.7. Формули Френе
- •1. ; 2.; 3..
- •Контрольні питання до теми 4
- •Список використаної та рекомендованої літератури
- •Додаток 1 Питання для підготовки до вхідного контролю з навчальної дисципліни «Диференціальна геометрія та топологія»
- •Додаток 2
- •Завдання вхідного контролю з навчальної дисципліни
- •«Диференціальна геометрія та топологія»
- •Варіант 1
- •Варіант 2
- •Варіант 3
- •Варіант 4
- •Варіант 5
- •Варіант 6
- •Варіант 7
- •Варіант 8
- •Варіант 9
- •Варіант 10
- •Додаток 3 Тестовий контроль з теорії кривих Тест 1. Вектор-функція скалярного аргументу
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих. Якщо правильних відповідей декілька, перелічити їх усі.
- •2. Вставити пропущені слова так, щоб одержалось правильне твердження.
- •Тест 2. Поняття кривої. Регулярна крива і способи її задання
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих. Якщо правильних відповідей декілька, перелічити їх усі.
- •Тест 3. Дотична пряма і супровідний тригранник кривої
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих. Якщо правильних відповідей декілька, перелічити їх усі.
- •Пов’язані з поняттями кривини та скруту
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих.
- •2. Вставити пропущені слова так, щоб одержалось правильне твердження.
- •Зоря Валентина Дмитрівна,
Тема 1. Вектор-функція скалярного аргументу
Векторно-координатний метод є одним з основних апаратів вивчення як теорії кривих, так і теорії поверхонь. Його складовими частинами є векторна алгебра і векторний аналіз. Векторна алгебра розглядає сталі вектори і запозичує назви дій над векторами (додавання, віднімання, множення) у звичайної алгебри. Векторний аналіз вивчає змінні вектори, для яких основні поняття й операції вводяться за аналогією з тими, які лежать в основі теорії границь, диференціального та інтегрального числення.
Нагадаємо спочатку основні факти векторної алгебри, які вивчались в курсі аналітичної геометрії.
1.1. Операції над сталими векторами та їх застосування
Вектором(геометричним) називається напрямлений відрізок прямої, один кінець якого називається початком вектора, а інший – кінцем вектора. |
Якщо початком вектора є точкаА, а кінцем точка В, то вектор позначають . Вектор позначають і однією буквою: . Довжина напрямленого відрізка називається модулем вектора. Вектори, розташовані на одній прямій або на паралельних прямих, називаються колінеарними. Два вектори вважаються рівними, якщо вони колінеарні, мають рівні модулі і однаково напрямлені (рис.1). Отже, початкову точку вектора можна вибрати довільно. Такі вектори називаються вільними. Два колінеарні вектори, що мають рівні модулі, але напрямлені в протилежні сторони, називаються протилежними (рис.2). Вектори, які лежать в одній площині або паралельні одній і тій самій площині, називаються компланарними. Вектор, початок і кінець якого суміщаються, називається нульовим і позначається . Довжина нульового вектора дорівнює нулю, а напрям невизначений. Вважається, що він колінеарний і компланарний будь-якому вектору.
Над векторами виконуються такі операції.
а) Додавання векторів
Додавання двох векторів виконують за правилом паралелограма або правилом трикутника. Правило паралелограма (рис.3): якщо вектори івідкладені від спільного початку і на них побудовано паралелограм, то сумою векторів іназивається та напрямлена діагональ паралелограма, початок якої збігається зі спільним початком обох векторів. Правило додавання векторів, наведене на рис. 4, називаєтьсяправилом трикутника.
|
| |
|
Рис.3 |
Рис.4 |
З правила трикутника безпосередньо випливає правило многокутника для додавання трьох або більше векторів (рис.5).
Властивості додавання:
1°. ;
2°. ;
3°. ;
4°. .
б) Множення вектора на скаляр
Властивості множення вектора на скаляр:
1°. ;
2°. ;
3°. Орт вектора :
4°.
5°. – компланарні, ;
6°. – некомпланарні .
в) Скалярне множення
Позначення: – скалярний добуток.
-
,
де та– координати в ортонормованому базисі векторіві відповідно.
Властивості скалярного множення:
1°. ;
2°. ;
3°. ;
4°. ;;
5°. .
г) Векторне множення
Позначення: – векторний добуток.
-
1) ;
2) ;
3) – права трійка.
Властивості векторного добутку:
1°.;
2°. ;;
3°. ;;
4°. ;;
5°. ;
6°. .
д) Мішане множення
–мішаний добуток.
Властивості мішаного добутку:
1°.
2°.
3°. ;
4°. – компланарні ;
5°. .