3.2. Нормальна площина просторової кривої

Нормаллю кривої в даній її точці називається пряма, яка проходить через цю точку і перпендикулярна до дотичної, проведеної до кривої у цій точці.

Просторова крива має нескінченну множину нормалей. Усі вони лежать в одній площині, яка називається нормальною площиною.

Нормальною площиною кривої в даній її точці називається площина, яка проходить через дану точку і перпендикулярна до дотичної, проведеної до кривої у цій точці.

Нехай– радіус-вектор довільної точкиM нормальної площини в точці .

Тоді вектор є нормальним вектором площини:

.

Відповідно до способу задання кривої маємо такі рівняння нормальної площини в точці :

; (7)

; (7')

. (7")

Задача. Скласти рівняння дотичної прямої та нормальної площини до кривої в точці .

Розв’язання.

–рівняння еліпсоїда;

–рівняння параболоїда.

При ; ; маємо: ; ; ;

; ; .

Отже: .

Рівняння дотичної прямої:

; ; .

Рівняння нормальної площини:

; .

Відповідь: ;

.

3.3. Дотична і нормаль плоскої кривої

Якщо крива плоска і розміщена в координатній площині (), легко отримати результати, подані нижче в таблиці 1.

Таблиця 1.

Рівняння кривої	Рівняння дотичної прямої	Рівняння нормальної прямої

3.4. Стична площина кривої

Порівняємо радіус-вектор довільної точки дотичної прямої з розкладом радіус-вектора кривої в околі точки .

Якщо покласти , то ці радіус-вектори відрізняються на нескінченно малу:Тому при досить маломукривуможна наближено замінити на дотичну пряму. Іншими словами, дотична пряма є першим наближенням кривої. Це означає, що властивості кривої можна вивчати («в малому») за допомогою простішого геометричного образу – прямої (а саме: дотичної прямої).

Узагальненням цієї задачі є задача про знаходження площини, яка була б найтісніше пов’язана з кривою в даній її точці. Це так звана стична площина.

Стичною площиною кривої в даній її точціназивається граничне положення площини, яка проходить через дотичну пряму до кривої в точціта іншу точкукривої, що необмежено наближається вздовждо.

Площина, яка проходить через дотичну до кривої , називається дотичною площиною. Дотична площина до кривоїпроходить через дві точки, що необмежено зближуються (до). Стична площина – та з дотичних площин, яка проходить через три точки кривої, що необмежено зближуються.

Якщо – плоска крива, то її стична площина співпадає з площиною, в якій лежить ця крива.

Виведемо рівняння стичної площини. Нехай крива задана рівнянням у векторній формі. Візьмемо наточку , якій відповідає радіус-вектор : . Проведемо в цій точці дотичну до , напрям дотичної визначається вектором.

Нехай – точка , близька до , і точці відповідає радіус-вектор :. Через дотичну і точкупроведемо площину. Довільній точціплощинипоставимо у відповідність радіус-вектор:.

Оскільки вектори,ілежать в одній площині, то їх мішаний добуток дорівнює нулю:.

Але ;.

Звідси

. (8)

Знайдемо розклад Тейлора для функції . Для цього запишемо розклад для радіуса-вектора кривоїв околі точки за степенями :

.

Звідси .

Підставимо в (8). Одержимо:

;

.

Врахуємо, що , і поділимо обидві частини останньої рівності на.

Одержимо . (9)

Для стичної площини (за означенням) , тому.

Тоді з (9) одержимо рівняння стичної площини у векторній формі :

. (10)

Теорема 6. В будь-якій точці регулярної кривої класу (у всякому разі двічі неперервно диференційовної) існує стична площина, причому: 1) якщо , то стична площина єдина і її нормальний вектор; 2) якщо , то будь-яка площина, яка проходить через дотичну кривої, є стичною.

Враховуючи, що

можемо записати (10) в скалярній формі:

. (10')

Основні властивості стичної площини

1°. Стична площина кривої є граничним положенням площини, яка проходить через три нескінченно близькі точки кривої. Прийнявши цю властивість за означення стичної площини, можна отримати її рівняння. 2°.Дотичною площиною кривої називається будь-яка площина, що проходить через дотичну пряму. Площини, що дотикаються до кривої в даній точці, утворюють пучок. Стична площина належить цьому пучку і є однією з дотичних площин. Можна з’ясувати відмінність стичної площини від інших дотичних площин, які називатимемо звичайними дотичними площинами. Якщо точка кривої наближається до точки дотику, то: 1) віддаль її від звичайної дотичної площини є нескінченно мала другого порядку відносно приросту параметра; 2) віддаль точки від стичної площини є нескінченно мала, принаймні, третього порядку відносно того ж приросту параметра. 3°.Стична площина має дотикання другого порядку з кривою, тобто: , якщо, деd – відстань від,h – відстань від стичної площини. Зауважимо, що дотична пряма з кривою має дотикання 1 порядку. Прийнявши цю властивість за означення стичної площини, можна довести теорему 6. 4°. При будь-якій параметризації кривої вектор другої похідної радіуса-вектора кривої розміщений в її стичній площині. Якщо t – час, а – рівняння руху, то векторназивається вектором прискорення рухомої точки (– вектор швидкості). Вектор прискорення завжди розміщений в стичній площині траєкторії рухомої точки.

Задача. Скласти рівняння стичної площини конічної гвинтової лінії

в початку координат.

Розв’язання. Початок координат відповідає значенню . Знайдемо перші та другі похідні поt:

При маємо:

Підставляємо ці значення в рівняння (10'):

, звідки , тобто

Зауваження. Дана лінія називається конічною, оскільки вона розміщена на конусі . Це легко перевірити підстановкою:.

Відповідь: