4.7. Формули Френе
1. ; 2.; 3..
Перша формула Френе була отримана в розгляді кривини кривої (13), третя формула – в розгляді скруту (20).
Доведемо формулу 2, використовуючи наведені вище формули 1 і 3 та правило диференціювання векторного добутку:
;
.
Оскільки
,
,
маємо:
.
Формули Френе мають фундаментальне значення в теорії кривих.
Контрольні питання до теми 4
Опишіть процес знаходження довжини дуги кривої. Яка крива називається спрямною? Що називається довжиною дуги кривої?
Запишіть формулу обчислення довжини дуги гладкої кривої.
Яка параметризація називається натуральною? Сформулюйте її визначну властивість.
Порівняйте, що і як саме характеризують кривина і скрут просторової кривої. Дайте їх означення. Якими векторами визначаються кривина і скрут?
Сформулюйте і доведіть теореми про кривину і скрут регулярної кривої, заданої натуральною параметризацією.
Поясніть спосіб отримання формул для обчислення кривини і скруту кривої в довільній параметризації.
Запишіть формули обчислення кривини і скруту кривої в довільній параметризації.
Запишіть формулу обчислення кривини плоскої кривої в довільній параметризації. Чому дорівнює скрут плоскої кривої?
Виведіть формули Френе-Серре.
Список використаної та рекомендованої літератури
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия: Учебное пособие. – М.: Наука, 1990. – 672 с.
Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. – М.: Наука, 1987. – 159 с.
Борисенко О.А. Диференціальна геометрія і топологія. – Х.: Основа, 1995. – 304 с.
Борисенко О.А., Ушакова Л.М. Аналітична геометрія. Х.: Основа,1993. – 192с.
Городецький В.В., Мартинюк О.В. Диференціальна геометрія в теоремах і задачах: Навчальний посібник – Чернівці : Рута, 2006. – 400 с.
Дифференциальная геометрия, топология, тензорный анализ. Сборник задач. Н.И. Кованцов, Г.М. Зражевская, В.Г. Кочаровсий, В.И. Михайловский – К.: – Вища школа, 1989. – 398 с.
Зоря В.Д., Рева Н.А. Еволюція поняття кривої // Науково-дослідна робота студентів як чинник удосконалення професійної підготовки майбутнього вчителя: зб. наук. пр./редкол.: Л.І.Білоусова та ін. – Х.: Факт, 2010 – Вип.2. – С. 77-84.
Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия: Учебник для вузов. – СПб. : Издательство «Лань», 2003. – 416 с.
Моденов П.С. Сборник задач по дифференциальной геометрии. – М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1949. – 239 с.
Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии. – М.: ГИФМЛ, 1958. – 244 с.
Погорелов А.В. Геометрия. — М.: Наука, 1983. – 288 с.
Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. – М.: Наука, 1969. – 176 с.
Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: Первое знакомство. – М.: Едиториал УРСС, 2003. – 408 с.
Проскурня І.П., Проскурня О.І., Процай В.Ф. Математичні парадокси – джерело математичних відкриттів // Науково-дослідна робота студентів як чинник удосконалення професійної підготовки майбутнього вчителя: зб. наук. пр./редкол.: Л.І.Білоусова та ін. – Х.: Факт, 2010 – Вип.2. – С. 173-181.
Сборник задач по дифференциальной геометрии / Под. ред. А.С. Феденко. – М.: Наука, 1979. – 272 с.
Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч. 5. Тести. – Харків: ХНУРЕ, 2007. – 512 с.