- •Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
- •Програма курсу
- •Предмет диференціальної геометрії. Історичний огляд розвитку диференціальної геометрії
- •Тема 1. Вектор-функція скалярного аргументу
- •1.1. Операції над сталими векторами та їх застосування
- •1.2. Вектор-функція скалярного аргументу
- •1.3. Границя вектор-функції
- •1.4. Неперервність вектор-функції
- •1.5. Похідна вектор-функції
- •1.6. Формула Тейлора
- •1.7. Інтеграл від вектор-функції
- •1.8. Вектор сталої довжини
- •Контрольні питання до теми 1
- •Тема 2. Поняття кривої. Регулярна крива і способи її задання
- •2.1. Поняття кривої
- •2.2. Способи аналітичного задання просторової кривої
- •2.3. Випадок плоскої кривої
- •Контрольні питання до теми 2
- •Перелічіть способи аналітичного задання просторової кривої. Запишіть відповідні рівняння. Які умови є достатніми для того, щоб ці рівняння визначали регулярну криву?
- •Тема 3. Дотична пряма і супровідний тригранник кривої
- •3.1. Дотична пряма просторової кривої
- •3.2. Нормальна площина просторової кривої
- •3.3. Дотична і нормаль плоскої кривої
- •3.4. Стична площина кривої
- •3.5. Супровідний тригранник кривої
- •Контрольні питання до теми 3
- •Тема 4. Поняття теорії кривих, пов’язані з поняттями кривини та скруту
- •4.1. Довжина дуги кривої. Натуральна параметризація
- •4.2. Кривина кривої, заданої в натуральній параметризації
- •4.3. Кривина кривої в довільній параметризації
- •4.4. Кривина плоскої кривої
- •4.5. Скрут кривої, заданої в натуральній параметризації
- •4.6. Скрут кривої в довільній параметризації
- •4.7. Формули Френе
- •1. ; 2.; 3..
- •Контрольні питання до теми 4
- •Список використаної та рекомендованої літератури
- •Додаток 1 Питання для підготовки до вхідного контролю з навчальної дисципліни «Диференціальна геометрія та топологія»
- •Додаток 2
- •Завдання вхідного контролю з навчальної дисципліни
- •«Диференціальна геометрія та топологія»
- •Варіант 1
- •Варіант 2
- •Варіант 3
- •Варіант 4
- •Варіант 5
- •Варіант 6
- •Варіант 7
- •Варіант 8
- •Варіант 9
- •Варіант 10
- •Додаток 3 Тестовий контроль з теорії кривих Тест 1. Вектор-функція скалярного аргументу
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих. Якщо правильних відповідей декілька, перелічити їх усі.
- •2. Вставити пропущені слова так, щоб одержалось правильне твердження.
- •Тест 2. Поняття кривої. Регулярна крива і способи її задання
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих. Якщо правильних відповідей декілька, перелічити їх усі.
- •Тест 3. Дотична пряма і супровідний тригранник кривої
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих. Якщо правильних відповідей декілька, перелічити їх усі.
- •Пов’язані з поняттями кривини та скруту
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих.
- •2. Вставити пропущені слова так, щоб одержалось правильне твердження.
- •Зоря Валентина Дмитрівна,
1.2. Вектор-функція скалярного аргументу
Математичний аналіз оперує змінними. Основне поняття – поняття функції. Вектори теж будемо розглядати змінними.
Нагадаємо означення функції, відоме з курсу математичного аналізу.
Якщо кожному елементу x деякої непустої множини X за певним правилом або законом (позначають f , g тощо) ставиться у відповідність єдиний елемент y множини Y , то кажуть, що на множині X визначена функція, яку позначають, наприклад, або або . |
Довільний елемент називають незалежною змінною або аргументом, множину X – областю визначення функції ,множину – областю значень функції f: .
Область визначення і область значень функції позначають такожі відповідно.
В математичному аналізі, як правило, розглядаються функції, в яких x і y є елементами підмножини множини дійсних чисел . Такі функції називаютьчисловими або скалярними.
З геометричної точки зору числова функція визначає відображення множини точок однієї прямої на деяку множину точок , взагалі кажучи, іншої прямої.
Вектор-функція одного аргументу – функція, в якій залежна змінна є вектором, а аргументt приймає значення з множини дійсних чисел .
Функція називаєтьсявектор-функцією одного скалярного аргументу, якщо кожному значенню ставиться у відповідність вектордвовимірногоабо тривимірногоевклідового простору. |
Позначення: – область визначення, – область значень .
У загальному випадку зі зміною t змінюється вектор як за величиною, так і за напрямком. Але може бути вектор-функція сталого модуля (змінюється лише напрям, а модуль залишається незмінним) і вектор-функція сталого напряму (змінюється лише модуль).
Якщо в тривимірному евклідовому просторі вибрати прямокутну декартову систему координат з ортонормованим базисомто координати вектор-функціїбудуть скалярними функціями того самого аргументуt: Таким чином, задання вектор-функції рівносильне заданню трьох числових (скалярних) функцій,,.
Якщо вважати ,,неперервними функціями та інтерпретувати аргументt як час, то інтуїтивно зрозуміло, що кінець вектора , відкладеного від початку кординат, опише криву. Ця крива називаєтьсягодографом вектор-функції .
Для вектор-функції вводяться поняття нескінченно малого вектора, границі, неперервності, похідної, інтеграла, аналогічні відповідним поняттям для скалярної функції.
Нескінченно малим називається вектор , модуль якого нескінченно малий |
Нескінченно малі вектори мають властивості, аналогічні властивостям нескінченно малих скалярних величин:
1°. Сума скінченного числа нескінченно малих векторів – нескінченно мала. |
□ Нехай , де – нескінченно малі вектори.
Відомо, що . ■
2°. Якщо вектор є співмножником деякого добутку (скалярного або векторного), один із співмножником якого нескінченно мала величина, а другий – обмежений за абсолютною величиною, то і добуток є нескінченно малою величиною. |
Для нескінченно малих векторів можна ввести поняття порядку малості (порівнюючи їх модулі).