teoreticheskaja_mekhanika-konspekt_lekcij

ЛЕКЦИЯ № 35. Динамика свободной

материальной точки

Из основного закона динамики можно вывести дифферен% циальные уравнения движения материальной точки в различных системах координат. Поскольку равнодействующая всех заданных сил и сил реакций связей — F, а масса точки т, то получается:

mа = F.

Ускорение а выражается через радиус%вектор r:

a = d2r/dt2.

Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме имеет вид:

md2r/dt2 = F.

Если спроецировать обе части уравнений на координатные оси, то можно получить дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на эти оси. В декартовой системе координат в общем случае:

max = Fx, may = Fy, maz = Fz.

Проекции ускорения на координатные оси выражаются через вторые производные по времени от координат движущейся точки:

ax = dvx/dt = d2x/dt2, ay = dvy/dt = d2y/dt2, аz = dvz/dt = d2z/dt2.

Дифференциальные уравнения движения материальной точ% ки в прямоугольной декартовой системе координат:

82

md2x/dt2 = Fx, md2y/dt2 = Fy, md2z/dt2 = Fz.

Применяя дифференциальные уравнения движения мате% риальной точки в той или другой системе координат, можно ре% шать две основные задачи динамики точки.

Первая задача. Зная массу точки и ее закон движения, можно вычислить действующую на точку силу. Таким образом, если за% даны уравнения движения точки в декартовой системе координат

x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t),

то проекции силы на оси координат определяются из дифферен% циальных уравнений движения точки, т. е.

Fx = md2f1/dt2,

Fy = md2f2/dt2,

Fz = md2f3/dt2.

Теперь, зная проекции силы на координатные оси, опреде% ляют модуль силы и косинусы углов силы с осями координат.

Вторая задача. По заданной массе и действующей на точку си% ле необходимо определить движение этой точки. Решение этой задачи будем рассматривать в прямоугольной декартовой системе координат. В общем случае сила F, а значит, и ее проекции на ко% ординатные оси могут зависеть от времени, координат движу% щейся точки, ее скорости, ускорения и т. д. Упростим, ограничи% ваясь случаем зависимости силы и ее проекции на оси координат от времени, координат и скорости.

Дифференциальные уравнения движения точки:

md2x/dt2 = Fx(t; x; y; z; x'; y'; z'), md2y/dt2 = Fy(t; x; y; z; x'; y'; z'), md2z/dt2 = Fz(t; x; y; z; x'; y'; z').

Для случая системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка имеется шесть произвольных по% стоянных: С1, С2, С3, С4, С5, С6.

83

ЛЕКЦИЯ № 36. Свободное падение тела

без учета сопротивления воздуха. Движение тела, брошенного под углом

к горизонту без учета сопротивления воздуха

Если рассматривается случай зависимости силы только от вре% мени, координаты и скорости, то дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки вдоль оси ОX имеет вид:

md2x/dt2 = Fx(t; x; v),

при этом начальные условия t = 0, х = х0. Наиболее важные случаи прямолинейного движения материальной точки получаются тогда, когда сила Fx постоянна или она зависит только от времени, или от координаты х, или от скорости v. Если сила постоянна, значит, име% ет место случай равнопеременного движения, т. е. движения с пос% тоянным ускорением. Силу, которая зависит от координаты х, могут обусловить сжатая или растянутая пружина и другие упругие тела при их деформации. В этих случаях интегрирование дифференциального уравнения выполняется наиболее просто и его можно довести до конца в квадратурах. В общем случае если сила одновременно зави% сит от времени t, координаты х и скорости v, то в большинстве случа% ев дифференциальное уравнение можно проинтегрировать лишь приближенно. Ниже приведены примеры на составление и интегри% рование дифференциального уравнения прямолинейного движения точки, в частности, когда сила зависит только от времени или от ско% рости, или от координаты.

Свободное падение тела без учета сопротивления воздуха. Мате% риальную точку массой т бросили вертикально вверх с поверхности Земли со скоростью v0. Она движется под действием силы тяжести по закону тяготения Ньютона. Требуется найти зависимость скоро% сти точки от ее расстояния до центра Земли, не учитывая сопротив% ления воздуха.

Решение. Направим ось ОX по прямолинейной траектории точки и выберем начало координат в центре Земли. В соответ% ствии с законом Ньютона для силы тяготения имеем: F = k/х2.

85

В данном случае k удобнее выразить из условия, что на по% верхности Земли сила тяготения F равна силе тяжести P = mg. Приравнивая F и Р при x = R, получим:

mg = k/R2; k = mgR2,

где g — ускорение силы тяжести у поверхности Земли; R — радиус Земли.

Подставляя полученное значение k в выражение для силы тя% готения, придем к следующей формуле:

F= mgR2/x2.

Получили дифференциальное уравнение:

md2x/dt2 = – mgR2/x2.

Проинтегрируем обе части уравнения:

а уже отсюда

v = (v02 + 2gR2(1/x – 1/R))1/2.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту без учета со5 противления воздуха. Пусть в точке М в начальный момент време%

ни t тело находится в начале координат и имеет скорость v0, лежа% щую в плоскости OXZ и направленную под углом α к горизонту. При этом начальные условия t0 = 0, тогда:

x0 = y0 = z0 = 0, x0 = v0cos α , y0 = 0,

z0 = v0sin α .

Подставим равенства в выражения

86

ЛЕКЦИЯ № 37. Движение падающего тела

с учетом сопротивления воздуха

Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки вдоль оси ОX:

если рассматривается случай зависимости силы лишь от времени, координаты и скорости. Начальные условия t = 0, х = х0. Рас% смотрим пример на составление и интегрирование дифферен%

циального уравнения падающего тела.

Пример. Точка массой т падает вертикально вниз без началь% ной скорости под действием силы тяжести. При этом она испы% тывает силу сопротивления воздуха R, которая в свою очередь пропорциональна квадрату скорости и массе точки:

R = kmv 2,

где k — постоянная положительная величина.

Требуется найти уравнение движения точки.

Решение. Направим ось ОX вертикально вниз, положив за на% чало координат положение точки в момент начала движения. В этот же момент примем t = 0. В произвольный момент времени прикладываем к точке действующие на нее силы Р и R и состав% ляем дифференциальное уравнение ее движения. Имеем:

тd2x/dt2 = mg – kmv.

При этом скорость можно определить зависимостью:

тd2x/dt2 = тvdv/dx.

Последняя подстановка позволяет исключить из дифферен% циального уравнения время при определении скорости. Диффе% ренциальное уравнение движения точки будет выглядеть так:

dv/dt = k(g/k – v2).

88

Разделяя переменные и интегрируя обе части, получаем:

Для того чтобы не искать дополнительно произвольную постоян% ную интегрирования, интегралы будем брать определенные, сохра% няя верхний предел переменным для последующего интегрирования, а для нижних пределов будем использовать условие: при t = 0 и v = 0. После интегрирования и подстановки пределов, получаем:

или ln((g/k)1/2 – v)/((g/k)1/2 + v))) – ln1 = – 2(g/k)1/2t.

Потенцируя и решая относительно v, получаем:

Следовательно, для достижения предельной скорости требу% ется бесконечно большое время.

Для отыскания закона движения точки нужно подставить в уравнение вместо скорости v ее значение dx/dt, тогда

dx /dt = g /kth ( g /kt ).

Интегрируя это уравнение после разделения переменных, в результате получаем:

∫x dx = g /k ∫t th ( g /kt ).

00

89

ЛЕКЦИЯ № 38. Колебательное движение

точки. Свободные колебания

Пусть точка М движется прямолинейно под действием одной только восстанавливающей силы F, направленной к неподвижно% му центру О и пропорциональной расстоянию от этого центра. Проекция силы F на ось OX: Fx= – сx.

Сила F стремится вернуть точку в равновесное положение О, где F = 0, поэтому она называется «восстанавливающая сила». Бу% дем искать закон движения точки М. Составим дифференциаль% ное уравнение движения в проекции на ось OX, тогда получим: mx'' = Fx или тх'' = сх. Разделим обе части равенства на т и введем обозначение cm = k2, тогда приведем уравнение к виду:

x '' + k 2x = 0,

которое представляет собой дифференциальное уравнение свобод5 ных колебаний при отсутствии сопротивления. Решение этого ли% нейного однородного дифференциального уравнения второго по% рядка находят в виде x = ent.

Колебания, совершаемые точкой по этому закону, называют% ся гармоническими колебаниями.

E

B '

A

0M

ω = K ϕ

α

B

D B0

Рис. 7. Движение по окружности

Пусть точка В движется равномерно по окружности радиуса А из положения В0, определяемого углом DOB0 = α (рис. 7). Обозна%

90