teoreticheskaja_mekhanika-konspekt_lekcij

ЛЕКЦИЯ № 39. Затухающие колебания

материальной точки, апериодическое движение точки. Явление биений, явление резонанса

Пусть на материальную точку М с массой т, кроме восстанавли% вающей силы F, проекция которой на ось OX равна сх, действует также сила сопротивления R, проекция которой на ту же ось рав% на ах. Разделим обе части этого уравнения на т и получим:

k 2 + 2hx + x = 0,

линейное однородное дифференциальное уравнение. Ему соот% ветствует характеристическое уравнение:

λ 2 + 2h λ + k2 = 0.

Корни этого уравнения:

λ 1,2 = – h ± (h2 + k2)1/2.

Окончательный вид общего решения уравнения существенно зависит от соотношения величин h и k. Если h < k, то корни харак% теристического уравнения комплексно%сопряженные; если h > k — корни вещественные; если h = k — корни вещественные и кратные. Движение точки М, описываемое таким уравнением, не будет пе% риодическим, поскольку не существует такой постоянной, прибав% ляя которую к аргументу t, получили бы равенство x (t + T) = х (t), справедливое при любых значениях t. Однако функция х периоди% чески меняет знак, т. е. движение точки М имеет колебательный ха5 рактер. Коэффициент h, характеризующий быстроту затухания ко% лебаний во времени, называется коэффициентом затухания. Он определяется отношением коэффициента сопротивления к вели%

чине удвоенной массы колеблющейся материальной точки.

Условный период затухающих колебаний (апериодический) —

это промежуток времени между двумя последовательными про%

92

хождениями точки М через положение статического равновесия в фиксированном направлении.

Условный период Т* можно связать с периодом колебаний точки в среде без сопротивления, полагая, что коэффициент k остается неизменным. В этом случае

где Т — период свободных незатухающих колебаний материальной точки.

Условный период затухающих колебаний больше периода свободных колебаний при отсутствии сил сопротивления, и это увеличение периода в основном зависит от квадрата малой вели% чины (h/k).

Вынужденными называются колебания материальной точки, если на точку, кроме восстанавливающей силы F, действует неко% торая изменяющаяся во времени возмущающая сила Q. Рас% смотрим случай, когда зависимость возмущающей силы

x + k 2 x = H sin(ωt + σ )

есть неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Колебание точки М состоит из следующих трех типов:

1)свободных колебаний, которые зависят от начальных усло% вий и имеют частоту собственных колебаний k;

2)вынужденных колебаний, которые имеют частоту собствен% ных колебаний k;

3)вынужденных колебаний, которые имеют частоту ω возму% щающей силы Q и амплитуду. Выражения для вынужденных колебаний не зависят от начальных условий движения; вынуж% денные колебания существенно зависят от разности частот собственных колебаний и возмущающей силы. Так, при часто%

те возмущающей силы, близкой к частоте собственных колеба% ний точки, возникает явление, называемое биением; при сов% падении указанных частот наступает явление резонанса.

93

ЛЕКЦИЯ № 40. Динамика несвободной

материальной точки

Основной закон динамики для несвободной материальной точки, а следовательно, и ее дифференциальные уравнения дви% жения имеют такой же вид, как и для свободной точки, только к действующим на точку силам добавляются все силы реакций связей. Обычно полную силу реакции точки при ее движении де% лят на две составляющие. Первая — составляющая силы реакции связей, уравновешивающая заданные силы, приложенные к точ% ке; она называется статической реакцией. Вторая — составляющая полной силы реакции, зависящая только от движения точки под действием заданных сил; она называется динамической реакцией и уравновешивает силу инерции движущейся точки.

Движение точки по поверхности. Пусть гладкая неподвижная по% верхность, по которой движется точка массой т под действием дан% ной силы Р, задана уравнением f (x, у, z) = 0, где x, у, z — координаты движущейся точки. Так как рассматриваемая поверхность является гладкой, то сила трения отсутствует. Обозначив N неизвестную нор% мальную силу реакции поверхности, получим следующие дифферен% циальные уравнения движения точки по поверхности:

Из дифференциальной геометрии известно, что косинусы углов внешней нормали к поверхности с осями координат, а зна% чит, и силы N, параллельной главной нормали, можно вычислить по формулам:

94

Значит,

Такие дифференциальные уравнения называются дифферен5 циальными уравнениями Лагранжа первого рода для движения не% свободной материальной точки. Из этих трех дифференциальных уравнений и одного конечного уравнения — уравнения поверхно% сти f (x, у, z) = 0 — можно вычислить четыре неизвестные коорди% наты точки x, у, z и неопределенный множитель Лагранжа X как функции времени и произвольных постоянных интегрирования. Произвольные постоянные находятся из начальных условий. По найденному неопределенному множителю Лагранжа X легко определить силу реакции поверхности N = λ f, которая в общем случае зависит от времени.

Если поверхность не гладкая, то кроме нормальной силы реакции возникает предельная сила трения Fmax, проекции ко% торой надо добавить в правые части дифференциальных ура% внений движения точки. Это добавление усложнит решение задачи. Однако и в этом случае задача принципиально разре% шима, поскольку наряду с добавлением неизвестной силы до% бавляется и конечное уравнение, которое связывает эту силу с нормальной реакцией:

Fmax = kN ,

где k — коэффициент трения.

95

ЛЕКЦИЯ № 41. Математический маятник

и его малые колебания

Математический маятник — тяжелая материальная точка, ко% торая двигается либо по вертикальной окружности (плоский ма% тематический маятник), либо по сфере (сферический маятник). В первом приближении математическим маятником можно счи% тать груз малых размеров, который подвешен на нерастяжимой гибкой нити.

Будем рассматривать движение плоского математического маятника по окружности радиуса l с центром в точке О. Опре% делим положение точки М (маятника) углом отклонения ϕ ра% диуса ОМ от вертикали. Направляя касательную M τ в сторону положительного отсчета угла ϕ , можно составить естествен% ное уравнение движения, которое образуется из уравнения движения m = F + N, где F — действующая на точку активная сила, а N — реакция связи. Это уравнение мы получили из вто% рого закона Ньютона, который является основным законом динамики: производная по времени от импульса материальной точки равна действующей на нее силе, т. е.

dtd (mv )= F .

Если масса постоянна, то можно представить предыдущее уравнение в виде

m dv = F или mW = F , dt

где W — ускорение точки.

Проекции на ось τ даст нам одно из естественных уравнений движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой:

97

Тогда имеем:

При малых колебаниях допустим, что в начальный момент маят% ник отклонен от вертикали на угол ϕ и опущен без начальной ско% рости, тогда начальные условия будут: при t = 0, ϕ = ϕ0 , ϕ0= 0. Энергия:

mv2 +V (x, y, z )= h, 2

где V — потенциальная энергия,

h — постоянная интегрирования. Тогда при этих условиях в лю% бой момент времени угол ϕ ≤ ϕ0. Значение постоянной h опреде% ляется по начальным данным. Допустим, что угол ϕ0 мал ( ϕ0 ≤ 1), тогда угол ϕ будет также мал и можно приближенно допустить, что sin ϕ ≈ ϕ .При этом уравнение примет вид:

d 2ϕ + ω 2ϕ = 0 — dt 2

дифференциальное уравнение простого гармонического колеба% ния. Его общее решение имеет вид:

ϕ = A cosωt + B sinωt = a sin (ωt + ε ),

где A и B, или a и ε , — суть постоянные интегрирования. Период T колебания маятника равен

Пример (задача о сферическом маятнике). Пусть материаль% ная точка массой т движется под действием силы тяжести по внутренней части поверхности сферы радиуса R вблизи устойчи%

98

вого положения равновесия. В начальный момент времени t = 0, x = x0, y = 0, vx = 0, vy = v0. Ось OZ направлена по вертикали вниз, а OX и OY расположены в горизонтальной плоскости. Начало ко% ординат есть центр сферы. Требуется определить движение точки и силу реакции абсолютно гладкой сферы на точку.

Решение. Дифференциальные уравнения движения точки по поверхности сферы:

К этим дифференциальным уравнениям добавляется уравне% ние связи — уравнение поверхности сферы

f (x, y, z) = R2 – (x2 + y2 + z2) = 0.

Тогда

R = (x2 + y2 + z2)1/2.

Подставляя значения производных, получим:

mx = −2λ x, my = −2λ y, mz = −mg − 2λz.

Интегрируем эту систему и получаем:

x = − g x, y = − g y.

RR

Тогда решения этих дифференциальных уравнений имеют вид:

99

ЛЕКЦИЯ № 42. Динамика относительного

движения материальной точки

Дифференциальные уравнения движения материальной точ% ки относительно подвижных (в общем случае неинерциальных) систем отсчета получают из уравнений движения точки относи% тельно инерциальной системы отсчета и кинематической теоре% мы Кориолиса о сложении ускорений.

Пусть есть инерциальная система отсчета O1X1Y1Z1 и мате% риальная точка массой т, на которую действуют приложенные си% лы F и N, где F — равнодействующая заданных активных сил; N — равнодействующая сил реакций связей. Если а — ускорение точки относительно инерциальной системы отсчета (абсолютное ускорение), то согласно уравнению движения точки в векторной форме:

ma = F + N .

Если ввести другую, неинерциальную, систему отсчета OXYZ, которая в общем случае может двигаться относительно инер% циальной как свободное твердое тело, то по теореме сложения ускорений имеем:

a = ae + ar + aк ,

где аi — соответственно переносное, относительное и кориолисово ускорения.

После преобразований получим:

mar = F + N + Фе + Фк ,

где Фе = – тае, Фк = – так — соответственно переносная и корио% лисова силы инерции.

Динамическая теорема Кориолиса, или уравнение относи% тельного движения точки в векторной форме: материальная точка

движется относительно неинерциальной системы отсчета так же,

100