teoreticheskaja_mekhanika-konspekt_lekcij

как и относительно инерциальной, только к приложенным активным силам и реакциям связей следует добавить переносную и кориолисо5 ву силы инерции.

Если координаты движущейся точки относительно подвижной системы координат OXYZ в момент времени t есть х, у, z, то в про% екциях на подвижные оси координат уравнение примет форму:

mx = Fx + N x + Фex + Фкх my = Fy + N y + Фey + Фкy .

mz = Fz + N z + Фez + Фкz

Относительное движение по инерции. Если материальная точка движется относительно подвижной системы отсчета прямолинейно и равномерно, то такое движение называют относительным движе5 нием по инерции. При этом относительная скорость vr постоянна по модулю и направлению, а значит, относительное ускорение а = 0.

Относительный покой. При покое материальной точки относи% тельно подвижной системы отсчета ее относительные скорость, ускорение и ускорение Кориолиса равны нулю. При абсолютном движении по инерции или абсолютном равновесии относительно инерциальной системы отсчета имеем для сил одно и то же усло% вие F + N = 0.

Инерциальные системы отсчета. Переносное ускорение в об% щем случае находится по формуле:

ae = a0 + ε × r + ω × (ω × r),

где а0 — ускорение точки, принятой за полюс, например начало ко% ординат подвижной системы координат; ω — угловая скорость вращения подвижной системы координат вокруг выбранного полюса; ε — угловое ускорение этого вращения;

r — радиус%вектор движущейся точки относительно выбранного полюса.

Допустим, подвижная система отсчета постоянно движется относительно основной инерциальной системы поступательно, равномерно и прямолинейно. Тогда переносная и кориолисова силы инерции равны нулю.

Принцип относительности Эйнштейна: все физические явле% ния во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково.

101

ЛЕКЦИЯ № 43. Система материальных точек

Система материальных точек — это совокупность материальных точек, положения и движения которых взаимосвязаны. Бывают сво5 бодные и несвободные системы. Если на движение точек системы не наложены заранее заданные ограничения, не зависящие от закона движения, то система называется свободной. Пример — Солнечная система, причем Солнце и планеты рассматриваются как материаль% ные точки. Несвободной называется такая система материальных то% чек, на движение которых наложены связи. Бывают геометрические и кинематические системы. Геометрические связи накладывают огра% ничения на координаты точек системы, а кинематические — на ско% рости точек системы. Условия, ограничивающие свободу движения материальных точек системы, выражаются некоторыми уравнения% ми — уравнениями связей. В общем случае эти уравнения устанавли% вают связи между координатами материальных точек, проекциями скоростей этих точек и временем. Если на систему материальных то% чек одновременно наложены геометрические и кинематические свя% зи, то общее число связей будет равно:

k = k1 + k2,

где k1 — число геометрических связей, k2 — число кинематических связей.

Связи, уравнения которых могут быть проинтегрированы, на% зываются голономными. Связи, в дифференциальные уравнения которых явно входят скорости таким образом, что для этих уравнений не существует интегрирующего множителя, назы% ваются неголономными или неинтегрируемыми. Различают связи неудерживающие и удерживающие. Связь называется удерживаю5 щей, если она ограничивает движение как в данном направлении, так и в противоположном. Такая связь выражается уравнениями. Связь называется неудерживающей, если она ограничивает дви% жение в данном направлении, но не ограничивает в противопо% ложном. Различают также связи стационарные и нестационарные. Если в уравнение связи время явно не входит, то связь называет%

102

ЛЕКЦИЯ № 44. Твердое тело.

Моменты инерции твердого тела

Твердое тело — тело, имеющее равенство нулю главного векто% ра и главного момента поверхностных сил.

Момент инерции твердого тела — интеграл, распространенный по всей массе:

I x = ∫m r 2dm.

Абсолютно твердое тело — это тело, состоящее из системы ма% териальных точек, непрерывно заполняющих некоторую часть пространства так, что расстояние между любыми двумя его точка% ми остается неизменным.

Моменты инерции одинаковых по форме однородных тел, из% готовленных из разного материала, отличаются друг от друга. Не% зависящей от массы материала характеристикой является радиус инерции. Он определяется относительно оси:

ρl = (Jl / M )1 / 2,

где М — масса тела. Момент инерции:

J1 = M ґ ρ12.

Теорема о моментах инерции твердого тела относительно парал5 лельных осей. Существует зависимость между моментами инер% ции системы относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс. Имеются две системы прямоуголь% ных, взаимно параллельных осей координат OXYZ и CX'Y'Z'. На% чало системы координат CX'Y'Z' находится в центре масс системы. Из определения момента инерции относительно оси имеем:

N

JOz = ∑mk (xk2 + yk2 ), k =1

104

где mк — масса точки Мк, а хк, ук, zk и х'к, у'к, z'k — координаты этой точки относительно систем координат OXYZ и CX'Y'Z' соот% ветственно.

Если хс, ус, zс — координаты центра масс относительно систе% мы координат OXYZ, то для взаимно параллельных осей коорди% наты одной и той же точки Мк связаны соотношениями парал% лельного переноса хк = х'к +хс; ук = у'к + ус; zk = z'k + zс. Подставим эти значения координат в выражение момента инерции; после преобразований получим:

и

JOz = JCz ′ + Md 2.

Центр масс находится в начале этой системы координат. Величина x2 + y2 = d2, где d — расстояние между осями OZ и OZ'. Мы получили связь моментов инерции относительно двух па%

раллельных осей, одна из которых проходит через центр масс.

Теорема Штейнера или Гюйгенса—Штейнера: момент инерции

системы относительно какой5либо оси равен моменту инерции отно5 сительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс про5 изведение массы системы на квадрат расстояния между этими осями.

Вычисление моментов инерции однородных тел относительно

осей, проходящих через их центры тяжести.

Однородный стержень. Пусть дан однородный стержень дли% ной l и массой М. Направим по стержню ось OX. Вычислим мо% мент инерции стержня относительно оси OZ, проходящей пер% пендикулярно стержню через его конец. Из определения момента инерции сплошного тела относительно оси имеем:

JOZ = ∫ x 2dm = ρ ∫l x 2dx,

L0

так как dm = ρ dx, где ρ = M/l.

105

ЛЕКЦИЯ № 45. Центробежные моменты

инерции

Различаются моменты инерции осевые, или аксиальные, по5 лярные, планарные и центробежные. Центробежные моменты инерции тела

I xy = ∫m xydm, I xz = ∫m xzdm, I yz = ∫m yzdm.

Центробежные моменты инерции зависят от направления ко% ординатных осей и от выбора начала координат. Поэтому, говоря о центробежном моменте инерции в данной точке, понимают, что начало координат совпадает с данной точкой. Центробежные моменты инерции могут равняться нулю и иметь любой знак

(плюс или минус). Если центробежные моменты инерции равны нулю, то оси называют главными осями инерции тела в данной точ5

ке. Если эта точка находится в центре масс, то оси являются глав5 ными и центральными осями инерции.

Эллипсоид инерции. Выберем (рис. 8) точку N, расположенную от начала координат на расстоянии

ON = d = 1/(Iи).

Ax2 + By2 + Cz2 – 2Dxy – 2Eyz – 2Fzx = 1.

Таким образом, геометрическое место точек N (х, у, z) пред% ставляет собой поверхность второго порядка, выраженную уравне% нием. Так как lи > 0 и расстояния всех точек N от начала координат конечны, то уравнение определяет эллипсоид с центром в начале координат. Этот эллипсоид называется эллипсоидом инерции, его оси симметрии ОX', ОY', OZ' — главные оси инерции в точке О. Если начало координат находится в центре инерции системы (тела), то эллипсоид инерции называется центральным, его оси сим% метрии — главными центральными осями инерции, а соответствую% щие моменты инерции — главными центральными моментами инерции.

107

Рис. 8. Построение эллипсоида инерции

Если в качестве координатных осей взять главные оси инер% ции, то уравнение эллипсоида примет вид:

A'x' 2 + B'y' 2 + C'z' 2 = 1,

в котором отсутствуют члены, содержащие произведения ко% ординат. Главные моменты инерции системы (тела) соответ% ственно равны А', В', С', а центробежные моменты инерции равны нулю:

I x ' = A ', I y ' = B ', I z ' = C ',

I y ' z ' = I z ' x ' = I x ' y ' = 0.

Каждой точке О системы (тела) соответствует определен% ный эллипсоид инерции. Знание главных осей инерции позво% ляет упростить уравнения движения твердого тела. Если оси координат являются главными осями инерции, то формула примет вид:

108

ЛЕКЦИЯ № 46. Теорема о движении центра

масс механической системы. Дифференциальные уравнения движения механической системы

По теореме об изменении количества движения системы:

dQ = ∑Fke , dt

однако количество движения системы можно вычислить по фор% муле: Q = Mvc, где Vc — скорость центра масс; М — масса системы.

Так как масса системы постоянна, получаем теорему о движе% нии центра масс в векторной форме:

Mdvc = ∑Fke или Mac = ∑Fke, dt

где ас — ускорение центра масс.

Теорема о движении центра масс формулируется так: центр масс системы движется так же, как и материальная точка, масса которой равна массе всей системы, если на точку действуют все внешние силы, приложенные к рассматриваемой механической системе. Проецируя на прямоугольные декартовы оси координат, получаем дифференциальные уравнения движения центра масс:

где хc, уc, zc — координаты центра масс.

1. Если главный вектор внешних сил, действующих на систе% му, равен нулю, т. е.

110