teoreticheskaja_mekhanika-konspekt_lekcij

ЛЕКЦИЯ № 56. Силовое поле.

Потенциальное силовое поле и силовая функция. Потенциальная энергия

Силовое поле, силы которого не зависят от времени, назы% вается стационарным. Силовым полем называется физическое про% странство, удовлетворяющее условию, при котором на точки ме% ханической системы, находящейся в этом пространстве, действуют силы, зависящие от положения этих точек или от положения то% чек и времени (но не от их скоростей). Примерами силового поля могут служить поле силы тяжести, электростатическое поле, поле силы упругости. Стационарное силовое поле называют потен% циальным в том случае, если существует такая функция, которая однозначно зависит от координат точек системы, через которую проекции силы на координатные оси в каждой точке поля выра% жаются следующим образом:

Если силовое поле является потенциальным, элементарная работа сил в этом поле численно равняется полному дифферен% циалу силовой функции. Работа сил, которые действуют на точки механической системы в потенциальном поле, равна разности значений силовой функции в конечном и начальном положениях системы и не зависит от формы траектории точек этой системы. Работа сил, которые действуют на точки системы в потенциаль% ном поле на всяком замкнутом перемещении (на перемещении, при котором начальные и конечные положения для всех точек совмещены), равна нулю, так как в рассматриваемом случае мож% но записать U2 = U1. Потенциальная энергия системы в любом данном ее положении равна сумме работ сил потенциального по% ля, приложенных к ее точкам на перемещении системы из данно% го положения в нулевое. Рассматриваемая сумма работ зави% сит только от того, из какого положения система перемещается в выбранное нулевое положение; потенциальная энергия зависит

131

ЛЕКЦИЯ № 57. Закон сохранения

механической энергии

При движении механической системы под действием сил, имеющих потенциал, изменения кинетической энергии системы определяются следующими формулами:

T1 + П1 = T2 + П 2 , Т + П = const.

Сумму кинетической и потенциальной энергий системы называ% ют полной механической энергией системы. При движении механи% ческой системы в стационарном потенциальном поле полная меха% ническая энергия системы при движении остается неизменной. В реальном времени на механическую систему могут действовать не только потенциальные силы и полная механическая энергия систе% мы может изменяться. Это происходит в том случае, когда часть энергии механической системы расходуется на преодоление различ% ных сопротивлений или в том случае, если наблюдается приток энер% гии от других систем. Расход механической энергии движущейся ме% ханической системы обычно означает превращение ее в теплоту, электричество, звук или свет, а приток механической энергии связан с обратным процессом превращения различных видов энергии в ме% ханическую энергию. Ранее было установлено, что если на мате% риальную точку действует центральная сила P, то момент количества движения этой точки L0 относительно центра силы O является по% стоянным и точка движется в плоскости l, которая перпендикулярна L0. В этом случае L0 является постоянной величиной или L0 = const. Запишем в виде следующей формулы:

Рассмотрим следующее векторное произведение: r × drG. Пло% щадь треугольника OMM', который построен на векторах rG и drG, равна половине модуля этого векторного произведения:

dF = 1/ 2 rG× drG .

133

ЛЕКЦИЯ № 58. Поле силы притяжения.

Законы Кеплера

В поле силы тяготения тело рассматривается в качестве мате% риальной точки. Пусть тело движется под действием силы притя% жения Р. Проекция рассматриваемой силы на ось r будет выгля% деть следующим образом:

P = − fmm0 /r 2,

где m0 — масса тела, вокруг которого движется изучаемое тело; m — масса рассматриваемого тела;

r — расстояние между центрами тяжести этих тел.

Нужно определить по вышеполученному уравнению вид траектории тела, которое движется в поле ньютоновой силы тяго% тения в зависимости от начальных условий движения. Для этого необходимо ввести новые обозначения. Пусть P = 4C2/(fm0). Те% перь рассматриваемое уравнение примет следующий вид:

Следующим шагом подставим значение С в полученную формулу:

Если изучить подробнее полученное уравнение, то получим, что угол ϕ является аргументом, величина 1/r — неизвестной функцией. Заметим, что общий интеграл уравнения складывает% ся из общего интеграла однородного уравнения и частного реше% ния этого же уравнения. Характеристическое уравнение такого

вида z2 + 1 = 0 имеет корни z1,2 = ±i.

Точка Р на эллиптической орбите планеты, которая расположе% на на наименьшем расстоянии от центра притяжения О (Солнца), называется перигелием, а точка А, самая удаленная от центра, —

135

афелием. Перигелию F в рассматриваемом случае соответству% ют следующие значения: ϕ = ε , следовательно ϕ = 0, а так% же rmin = a – c = p/(1 + e). Афелию в рассматриваемом случае соответствуют следующие значения: ϕ = ε + π , следователь%

но ψ = π,а также rmax = a + c = p/(1 – e) .

Следующим шагом можем определить продолжительность об% ращения тела по эллиптической орбите. Площадь F, которую описывает радиус%вектор точки M за период обращения T, пред% ставляет собой площадь эллипса с полуосями a и b. Выразим это

ввиде математической формулы: F = πab.

Сдругой стороны, согласно ранее полученным выражениям для площади: F = CT.

Сравнивая полученные значения, можем их теперь приравнять:

CT = πab.

Полученное уравнение представляет собой уравнение кониче% ского сечения в каноническом виде. Величины p и e являются ос% новными параметрами, которые определяют форму конического сечения. В зависимости от величины эксцентриситета ε , имеем следующие виды конического сечения:

1)ε = 0 — окружность;

2)ε < 1 — эллипс;

3)ε = 1 — парабола;

4)ε > 0 — гипербола.

Отсюда следует, что под действием ньютоновой силы тяготе% ния тело описывает траекторию в виде конического сечения, фор% ма которого зависит от величины эксцентриситета ε . Квадрат пе% риода обращении тела по эллиптической орбите пропорционален кубу большой полуоси орбиты. Движение планет вокруг Солнца представляет собой рассмотренное выше движение тел по эллип% тическим орбитам под действием ньютоновой силы притяжения. Закон всемирного тяготения дал математическое обоснование за% конам Кеплера, которые формулируются так: под действием нью% тоновой силы тяготения все планеты движутся по эллипсам, в од% ном из фокусов которых находится Солнце.

Площади, описываемые радиусами%векторами планет отно% сительно Солнца, пропорциональны времени.

Квадраты времени обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит.

136

ЛЕКЦИЯ № 59. Динамика поступательного

и вращательного движения твердого тела

При поступательном движении твердого тела все его точки движутся так же, как и его центр масс. В результате дифферен% циальные уравнения движения центра масс тела являются диф% ференциальными уравнениями поступательного движения твер% дого тела. Запишем в виде формулы:

mxc = ∑X iE = X E , myc = ∑Yi E =Y E , mzc = ∑ZiE = Z E ,

где m — масса тела;

xc, yc, zc — координаты центра масс тела.

Заметим, что по дифференциальным уравнениям поступа% тельного движения можно решать два основных типа задач на по% ступательное движение твердого тела:

1)по заданному движению твердого тела определять главный вектор приложенных к нему внешних сил;

2)по заданным внешним силам, действующим на тело, и началь% ным условиям движения находить кинематические уравнения движения тела, если известно, что оно движется поступательно.

Изучение поступательного движения твердого тела сводит%

ся к изучению движения отдельной материальной точки, кото% рая имеет массу данного тела. Введем в рассмотрение твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси Z с угловой скоростью ω .

Требуется определить кинетический момент этого тела отно% сительно оси его вращения. Момент количества движения точки Mi тела относительно оси Z:

Liz = miri 2ω.

Кинетический момент вращающегося твердого тела относи% тельно неподвижной оси его вращения равен произведению мо%

137

ЛЕКЦИЯ № 60. Физический маятник

и его малые колебания

Физическим маятником называется твердое тело, которое имеет неподвижную горизонтальную ось вращения, не проходящую че% рез его центр тяжести, и находящееся под действием только силы тяжести. Ось вращения физического маятника называется осью привеса маятника. Примем ось привеса маятника за ось X. Коор% динатную плоскость YOZ проведем через центр тяжести C маятни% ка и совместим эту плоскость с плоскостью чертежа.

На маятник, который отклонен от положения покоя, дейст% вуют внешние силы: сила тяжести G и составляющие реакции ци% линдрического шарнира Y0 и Z0. Трением в шарнире в рассматри% ваемом случае можно пренебречь. Реактивные силы не имеют моментов относительно оси привеса. При повороте маятника на угол ϕ в положительном направлении или, другими словами, против вращения часовой стрелки, сила G стремится вращать плоскость ZOY по вращению часовой стрелки и противоположно. Следовательно, знак момента силы G относительно оси X проти% воположен знаку угла поворота маятника ϕ и знаку sinϕ.

Дифференциальное уравнение вращения тела вокруг непо% движной оси для маятника можно записать в виде следующего выражения:

J xϕ = −Gd sinϕ,

где Jx — момент инерции маятника относительно оси привеса; G — вес маятника;

d — расстояние от центра тяжести маятника до оси привеса. Уравнение такого вида

ϕ + (Gd /J x )sinϕ = 0

представляет собой дифференциальное уравнение качаний фи% зического маятника. Рассматриваемое уравнение отличается от дифференциального уравнения качаний математического маят%

139