teoreticheskaja_mekhanika-konspekt_lekcij
.pdf
первой силы с концом последней, т. е. изображается замыкаю% щей силового многоугольника. Для пространственной системы сходящихся сил силовой многоугольник — пространственная фигура. Для равновесия системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, равнодействующая сила должна обратиться в точ% ку. Этот силовой многоугольник называют замкнутым; например, для пространственной системы сил многоугольник строят из стержней.
Проецирование силы на оси координат. Пусть дана сила F, тог% да ее проекции на прямоугольные оси координат вычисляются по формулам:
Fx = Fi = F cos(F , x),
Fy = Fj = F cos(F , y),
Fz = Fk = F cos(F , z).
где i, j, к — единичные векторы, направленные по осям координат. Косинусы углов силы с осями координат удовлетворяют условию
cos2(F, x) + cos 2(F, y) + cos 2(F, z) = 1.
Из трех углов независимыми будут только два. При проециро% вании силы на прямоугольные оси координат лучше использо% вать два угла. Для этого силу нужно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие. При этом одна из них парал% лельна какой%либо оси координат, например OZ, а другая нахо% дится в координатной плоскости двух других осей, в нашем слу% чае — координатной плоскости ОXY. Тогда получается
Fx = F sinα cos β,
Fy = F sinα cos β,
Fz = F cosα.
Условие равновесия системы сходящихся сил: для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равно% действующая сила равнялась нулю R = 0.
ЛЕКЦИЯ № 9. Теория пары сил в пространстве
Пусть к твердому телу приложена пара сил ( F , F ') так, что F = −F '. Такая совокупность двух сил является неупрощаемой (са% мостоятельным элементом статики). Момент пары сил — это вектор% ная величина, обозначаемая M ( F , F ') и определяемая формулой
M (F , F ′)= A′A × F = AA′ × F ′.
Данный вектор, перпендикулярный плоскости действия пары сил, является свободным, иными словами, он может быть пере% несен параллельно сам себе и приложен в любой точке тела (рис. 5а). Этот вектор направлен в ту сторону, откуда враще% ние, производимое парой сил, происходит против хода часо% вой стрелки.
Плечо пары сил h — это расстояние между линиями действия сил, т. е.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
= hF . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| M F , F ′ |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2F |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
F3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(F |
|
|
|
′) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F5 |
||||
|
|
|
|
M |
, F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
A′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
2F′ |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
F |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
||||||||||||||||
Рис. 5. Совокупность двух сил (а), пара сил (б)
Теорема об эквивалентности пар сил.
1. Пару сил можно переносить, не меняя ее действия на тело, как единое целое в плоскости действия пары сил.
22
2. Не изменяя действий пары, плоскость действия можно пе% реносить параллельно самой себе.
Доказательство. Пусть дана пара (F1, F2 ) с плечом АВ (рис. 5б). Если перенести плечо АВ в положение А1В1 и к точкам А1 и В1 при% ложить направленные в противоположные стороны силы F3, F4
и F 5, F 6 , равные по напряжению силам пары (F1, F2 ) и парал% лельные им, то
(F1, F2 ) ≈ (F1, F2 , F3, F4 , F 5, F 6).
Сложив силы F 2, и F 4, получим равнодействующую, рав% ную 2F , которая будет приложена в середине параллелограмма
и направлена вверх. Если сложить силы F1 и F5, можно получить их равнодействующую, равную 2F ' и направленную вниз. Тогда F1, F5, F 2, F 4 ≈ 0, поэтому система
(F1, F2 , F3, F4, F 5, F 6) ≈ (F3, F 6)
ипара (F3, F 6) эквивалентна паре (F1, F2).
Значит, плоскость пары можно переносить параллельно ей са% мой, не изменяя при этом оказываемого на тело действия.
Сложение пар в пространстве. Пусть на твердое тело действует система пар сил
(F1, F1′), (F2, F2′), ... (Fn, Fn′).
Момент k%ой пары сил обозначим через
M (Fk , Fk′), при k =1,n.
Данную систему пар сил можно заменить одной парой сил, та%
кой, ( F , F ') , тогда момент M ( F , F ') равен геометрической сумме моментов данных пар сил
M (F , F ′)= ∑n M (Fk , Fk′).
k =1
ЛЕКЦИЯ № 10. Главные моменты системы сил
Пусть в точке А твердого тела приложена сила F .Момент си% лы F относительно некоторого выбранного центра О — это век% торная величина M0( F ), определяемая формулой
M 0 (F ) = r × F ,
где r — радиус%вектор точки А, причем r = OA . Тогда
| M0 (F ) | = hF , F = | F |
где h — кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы, называемое плечом силы.
Вектор
M0 (F ) r ,F
инаправлен в ту сторону, откуда вращение производимой силой осуществляется против часовой стрелки. Сила измеряется в [H], а момент силы — в [H·м].
Пусть в точке О будет начало некоторой прямоугольной де% картовой системы координат XYZ. Спроектируем векторную фор% мулу на координатные оси, получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 (F |
)= M |
0 x (F |
) |
|
|
|
|
|
0 y (F |
) |
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
|
k |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
M |
i |
+ M |
j |
+ M |
0k = |
x y z |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fx |
Fy |
Fz |
|
||||||
|
|
|
|
M |
0 x (F |
)= yFz − zFy |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 y (F )= zFx − xFz , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0z (F |
)= xFy − yFz |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где x, y, z — координаты точки приложения силы.
24
Эта формула позволяет найти момент силы относительно центра, если известны координаты точки приложения силы и из% вестны проекции вектора силы, так как
M 0 (F ) = M 02x + M 02y + M 02z ,
а направляющие косинусы этого вектора в этой системе коорди% нат определяются формулами:
cos (M0 , x cos (M0 , y cos (M0 ,z
)= M )= M )= M
0 x M 0 ,
0 y M 0 ,
0 z 
M 0 .
Момент силы относительно оси. Момент силы F относительно некоторой оси, например OZ, — это проекция вектора момента силы относительно некоторого центра, взятого на этой оси, на эту же ось, т. е.
M 0 я (F )= (z × F )z —
моменты силы F относительно координатных осей X, Y, Z. При решении задач для вычисления момента сил относительно оси часто пользуются следующим правилом. Выбирают на оси Z про% извольную точку О и проводят через нее плоскость, перпендику%
лярную оси Z. Затем проектируют силу F на эту плоскость и про% водят перпендикуляр из точки О на линию действия F '. При этом момент силы F относительно Z будет равен
M 0z = ±hF ′, F ′ = F ′ ,
где h — кратчайшее расстояние от точки О до линии действия F '. Знак «+» берется, если вращение F ' относительно точки О проис% ходит против часовой стрелки, а знак «–» — в противном случае.
Главный момент системы сил. Если на твердое тело действует система сил (F1, F2 , ... Fn), то можно выбрать произвольную точку О. Тогда главным моментом системы сил относительно выбранно%
25
го центра О будет называться вектор, равный геометрической сум% ме моментов всех сил системы относительно выбранного центра:
|
|
n |
n |
||||||
|
|
|
|
|
(Fi )= ∑ |
|
|
|
|
M |
0 = ∑M 0 |
|
× Fi |
. |
|||||
ri |
|||||||||
|
|
i =1 |
i =1 |
||||||
Этот вектор обычно изображается приложенным в точке О. Если все силы системы приложены в одной точке, то все r i = r , тогда
n
M = r + ∑Fi = z × F ,
i =1
где
n
F = ∑Fi
i =1
называется главным вектором системы сил.
ЛЕКЦИЯ № 11. Приведение пространственной
системы сил к главному вектору и к главному моменту
Лемма о параллельном переносе сил. Пусть к абсолютно твердо%
му телу в точке А приложена сила F A. Состояние твердого тела не изменится, если эту силу перенести параллельно самой себе в лю% бую другую точку тела В и приложить к телу пару сил, момент ко% торой равен
BA × FA .
Иначе говоря,
FА ≈ FB , (F ′,FA ),
где
F ′ = −FA , FB = FA .
M (F ′, FA )= BA × FA .
Доказательство очевидно, так как
FB ,(F ′, FA )≈ FB , F ′, FA,
а две силы F B и F ' взаимно уравновешиваются. Эта лемма ис% пользуется при упрощении пространственных систем сил.
Приведение пространственной системы сил к главному вектору и к главному моменту. Пусть на абсолютно твердое тело действует
произвольная пространственная система сил (F1, F2 , ..., Fn ). Эта
система сил может быть заменена одной силой F и парой сил, мо%
27
мент которой M0 , причем сила F — главный вектор простран% ственной системы сил
n
F = ∑Fk .
k =1
Момент M0 — главный момент пространственной системы сил, равный
n
M 0 = ∑rk × Fk ,
k =1
т. е. момент равен геометрической сумме моментов всех сил системы относительно выбранного центра приведения.
Доказательство этого утверждения основывается на лемме о па% раллельном переносе сил. Все силы исходной системы переносят па% раллельно самим себе в выбранную точку приведения О, тогда полу% чится система исходящих сил. Данная система может быть заменена
равнодействующей F ,приложенной в точке О. Чтобы состояние те% ла не изменилось при выполненном переносе сил, необходимо к те% лу приложить n пар сил, моменты которых относительно центра О определяются соотношениями:
M 0 (F )k = rk × Fk , k = 1,n.
Эта система пар сил может быть заменена одной парой, мо% мент которой равен геометрической сумме моментов указанных
пар сил. Главный момент M 0 этой результирующей пары обычно изображают приложенным в центре О, хотя он является свобод% ным вектором и может переноситься параллельно самому себе в пространстве.
Теорема Вариньона. Для системы сходящихся сил момент рав% нодействующей силы относительно выбранного центра равен геометрической сумме моментов всех сил системы.
ЛЕКЦИЯ № 12. Инварианты системы сил
Пусть вместо центра приведения О взята другая точка О1, тог% да при приведении к ней исходной системы сил главный вектор, приложенный в точке О1,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
′ = ∑Fk = F , |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а также главный момент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 = ∑ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
rk′ + Fk . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
rk′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пусть |
|
|
−OO1, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
rk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
M |
01 = ∑ |
rk′ + Fk −OO1 + |
∑Fk = M 0 + O1O + F . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k =1 |
k =1 |
|||||||||||||||||||||
Следовательно, при перемене центра приведения главный вектор системы сил остается неизменным, а главный момент из% меняется на величину
O1O + F .
Эта величина равна моменту главного вектора, приложенного в прежнем центре О относительно нового центра О1.
Инварианты приведения (статические инварианты). При приве% дении пространственной системы сил к тому или иному выбранно% му центру имеют место величины, которые не зависят от выбран% ного центра приведения. Первая величина — первый статический инвариант, он является главным вектором системы сил, так как он не меняется при перемене центра приведения. Другими словами, это векторный статический инвариант. Второй статический инва% риант — скалярная величина, равная проекции главного момента
29
на направление главного вектора,
M = FM 0 = M 01F .
FF
Действительно, из равенства
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
M |
01 = ∑ |
rk′ + Fk −OO1 + ∑Fk = M 0 + O1O + F |
||||||||||
|
|
k =1 |
|
|
|
|
k =1 |
|||||
после его скалярного умножения на вектор F, будет
M F = M F + (OO + F )F ,
01 0 1
где
(O1O + F )F = 0
как скалярное произведение двух ортогональных векторов. Уравнение центральной оси. Уравнение прямой, которая назы%
вается центральной осью системы, имеет вид
M0 – OO + F = p.
F
Это равенство выражает уравнение центральной оси в вектор% ной форме, при этом текущей координатой является вектор OO .
Если координаты векторов M0, F ,OO обозначить
M 0 (M x , M y , M z ), F (Fx, Fy, Fz ), OO ( x , y , z ),
то в проекции на оси координат уравнение центральной оси при% мет вид:
M x − (y Fz − z Fy ) = M y − (z Fx − x Fz ) = M z − (x Fy − y Fx ) = p.
Fx |
Fy |
Fz |
Для всех центров приведения, лежащих на центральной оси, главный момент направлен по главному вектору. Значит, для этих
30