teoreticheskaja_mekhanika-konspekt_lekcij
.pdfG
фигуры равна геометрической сумме скорости полюса v0 и враща%
тельной скорости вокруг этого полюса.GПроведем в точке О пер%
пендикуляр к направлению скорости v так, чтобы направление
G 0
поворота скорости v0 к этому перпендикуляру совпадало с напра% влением вращения фигуры. Затем найдем конкретную точку P,
вращательная скорость которой равна по модулю скорости полю% |
||||||
са vG или |
vG |
|
= |
vG. Направления данных скоростей противополож% |
||
0 |
0P |
|
0 |
|
|
|
ны, т. е. vG |
|
= – |
vG |
. Скорость точки P |
||
0P |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
→ |
|
|
|
|
|
v P = v 0 |
+ v 0P = 0. |
Следовательно, точка P в рассматриваемый момент времени является мгновенным центром скоростей. Для определения по% ложения точки P нужно вычислить вращательную скорость точки P вокруг полюса O и приравнять ее к скорости полюса:
v0P = OP ϖ = v0, OP = v0 
ϖ .
Таким образом, мгновенный центр скоростей плоской фигу% ры находится на перпендикуляре к направлению скорости полю% са на расстоянии от полюса vG0 /ϖ . Скорость любой плоской фи% гуры в каждый момент времени имеет модуль, который равен произведению угловой скорости фигуры на длину отрезка, соеди% няющего точку с мгновенным центром скоростей, и направлена перпендикулярно этому отрезку в сторону вращения фигуры:
→
vA = PA ϖ , v A PA;
→
vB = PB ϖ , vB PB;
→
vK = PK ϖ , v K PK .
Модули скоростей точек плоской фигуры в каждый момент вре% мени пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра скоростей. Для определения скорости точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей нужно знать положение мгновенного центра скоростей и угловую скорость фигуры.
ЛЕКЦИЯ № 26. Уравнения неподвижной
и подвижной центроиды
Мгновенный центр скоростей характеризует распределение скоростей точек плоской фигуры в определенный момент времени.
Теорема Шаля: плоскую фигуру можно переместить из одного положения в любое другое положение на плоскости одним пово% ротом некоторого неподвижного центра.
Пусть дан отрезок, который соединяет точки A и B плоской фигуры. Он занимает на плоскости в два различных момента вре% мени положения AB и A1B1. Соединим A и A1, B и B1 и разделим по% полам. Из середин этих отрезков D и E проведем перпендикуляры к отрезкам и продолжим их до пересечения в некоторой точке C. Докажем, что данная точка неподвижной плоскости есть центр поворота для данного конечного перемещения плоской фигуры. Если соединить точку C с концами отрезков AB и A1B1, получатся треугольники ACB и A1CB1. Тогда эти треугольники равны соглас% но равенству трех их сторон: A1B1 = AB, A1C = AC, B1C = BC. Поскольку треугольники равны, получим
ACB = ACB или ACA = BCB = ϕ,
1 1 1 1
где ϕ — абсолютная величина рассматриваемого угла. Перемещения двух точек фигуры, а значит, и всей плоской фи%
гуры из первого положения во второе можно сделать, поворачивая
Сна угол ϕ вокруг центра.
Вслучае поступательного движения плоской фигуры перпен%
дикуляры к отрезкам AA1 и BB1 параллельны, и центр поворота находится в бесконечности. Каждым двум положениям плоской
фигуры на плоскости соответствует собственный центр поворота. Предельным положением центра поворота при стремлении вре%
мени перемещения плоской фигуры t к нулю является точка неподвижной плоскости, с которой в данный момент времени совпадает мгновенный центр скоростей плоской фигуры. Модуль скорости v точки A:
v = C A ϖ ,
где точка C* — мгновенный центр вращения фигуры.
На неподвижной плоскости имеются положения A1B1, A2B2, A3B3, …отрезка AB, который определяет положение плоской фигу% ры в моменты времени t, t + t, t + 2 t, t + 3 t, … Предельные положения центров поворота C1, C2, C3, … — это мгновенные цен% тры вращения плоской фигуры, поэтому в пределе ломаная ли% ния C1C2C3C4… преобразуется в кривую, которая представляет со% бой геометрическое место мгновенных центров вращения на неподвижной плоскости и называется неподвижной центроидой. Линия C1 ' C2 ' C3 ' C4 ' обращается в кривую, которая является гео% метрическим местом точек мгновенных центров скоростей на движущейся фигуре. Данная кривая неизменно связана с плоской фигурой (с отрезком AB) и движется вместе с ней. Она называет% ся подвижной центроидой.
Теорема Пуансо о качении подвижной центроиды по неподвиж5 ной: при действительном движении плоской фигуры подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной центроиде.
Уравнения неподвижной центроиды в параметрической форме в неподвижной системе координат имеют вид:
|
|
|
|
|
ξP = ξ0 − |
|
|
|
1 |
|
|
dη0 |
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ϖ dt |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
ηP =η0 + |
1 |
|
dξ0 |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ϖ dt |
|
|
|
|
||||||||||
Уравнения подвижной центроиды в параметрической форме |
|||||||||||||||||||||
в подвижной системе осей имеют вид: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
= |
1 |
dξ0 |
|
− |
|
dη0 |
|
|
|
|
||||||||||
xP |
|
|
|
|
sinϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
cosϕ |
, |
||||||
ϖ |
dt |
|
|
|
dt |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= |
1 |
dξ0 |
|
+ |
|
dη0 |
|
|
|
|
||||||||||
yP |
|
|
|
|
cosϕ |
|
|
|
|
|
|
|
sinϕ . |
||||||||
ϖ |
dt |
|
|
|
dt |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ЛЕКЦИЯ № 27. Теорема об ускорениях
точек плоской фигуры и ее следствия. Положение мгновенного центра ускорений
Ускорение точек плоской фигуры определяется следующей теоремой: ускорение любой точки плоской фигуры равно гео% метрической сумме ускорения этой точки в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса.
Следствие 1. Проекция ускорения любой точки плоской фигу% ры на ось, проведенную из произвольного полюса через эту точку, не может быть больше проекции ускорения полюса на эту же ось.
Следствие 2. Концы ускорений точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропорцио% нальные расстояниям между этими точками.
В каждый момент времени существует точка плоской фигу% ры, ускорение которой в этот момент равно нулю. В определен%
ный момент времени ускорение некоторой точки O плоской фи%
G
гуры равно a 0, фигура вращается ускоренно в направлении,
противоположном направлению вращения часовой стрелки, а модули угловой скорости и углового ускорения плоской фигу% ры равны ϖ и ε . Угол α = arctg ε / ϖ 2, причем ε — модуль век% тора ε . Если tgα = ε / ϖ 2 > 0, то соответствующий этому тан%
генсу угол находится в пределах от 0 до 90°. Затем нужно отложить угол α от ускорения aG0 по направлению углового ко% эффициента ε . В данном случае это нужно сделать в сторону, обратную вращению часовой стрелки, значит, отложим отрезок на проведенной полупрямой:
OQ = a0 |
ε 2 +ϖ 4 . |
Если точка O — полюс, то ускорение построенной точки Q: |
|
→ → |
→ |
aQ = aO + aOQ .
Ускорение точки Q во вращательном движении вокруг полюса O состоит из центростремительного ускорения и вращательного.
64
Причем вращательное направлено по отношению к полюсу в сто% рону, соответствующую направлению углового ускорения εG:
aOQ = aOQε 2 + aOQϖ 2 = OQ ε 2 +ϖ 4 = aO ε 2 + ϖ 4 ε 2 + ϖ 4 = aO .
Ускорение |
aG |
образует с отрезком угол β,причем |
||||||
|
0Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aOQε |
εa2 |
ε |
|
|
|
|
|
tgβ = |
|
= OQ |
= |
|
|
= tgα. |
|
|
ϖ |
ϖ |
2 |
||||
|
|
|
aOQ |
OQ |
|
|
||
Углы α и β лежат в пределах от 0 до 90°, а значит, β = α . Та% |
|||
ким образом, ускорения aG0Q и aG0 равны по абсолютной величине, |
|||
но противоположны по направлению: aG |
= – aG , aG |
Q |
= 0. Точка |
0Q |
0 |
|
|
Q, ускорение которой в определенный момент времени равно ну% |
|||
лю, называется мгновенным центром ускорений. При этом модули ускорений точек плоской фигуры в каждый момент времени про% порциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра ускорений, а векторы ускорений составляют с отрезками, соеди% няющими данные точки с мгновенным центром ускорений, один и тот же угол:
α = arctg β 
ϖ 2 .
Мгновенный центр скоростей P и мгновенный центр ускоре% ний Q являются различными точками плоской фигуры.
Существует несколько способов определения положения мгновенного центра ускорений.
1.Известна точка плоской фигуры, ускорение которой в дан% ный момент времени равно нулю.
2.Известны модельGи направление ускорения какой%либо точ% ки A плоской фигуры a A , а также угловая скорость ϖ и угловое ускорение ε фигуры.
3.Известны модули и направления ускорений двух точек пло% ской фигуры.
ЛЕКЦИЯ № 28. Определение ускорений точек
и угловых ускорений звеньев плоского механизма
Для определения ускорений точек и угловых ускорений звеньев плоского механизма целесообразно применять теорему об ускорениях точек плоской фигуры и ее следствия.
Пусть нужно найти ускорение ползунка В кривошипно%ша% тунного механизма и угловое ускорение шатуна АВ этого меха% низма, если известно, что кривошип ОА вращается равномерно с угловой скоростью ω в направлении, противоположном на% правлению движения часовой стрелки.
Чтобы решить эту задачу, следует использовать следующие данные:
1) модуль и направление ускорения wA пальца кривошипа А
wA = wAц = OA ω 2;
2) прямую, по которой направлено ускорение ползунка В, движущегося прямолинейно;
3) угловую скорость wАВ шатуна АВ, которую легко определить по плану скоростей или применением мгновенного центра скоростей.
Зная скорость пальца А кривошипа vA, модуль которой равен vA = ω , можно определить скорость vB ползунка В по плану скоростей или при помощи мгновенного центра скоростей. Затем вычисляют модуль угловой скорости шатуна АВ:
wAB = ab / AB
или
wAB = vA/(PABA) = OA ω /(РАВА).
Приняв точку А шатуна за полюс, можно вычислить ускоре% ние точки В по формуле:
wB = wA + wABц + wABВ.
66
Центростремительное ускорение точки В в ее вращательном движении вокруг полюса А, направлено по оси шатуна от точки В к точке А, а его модуль равен:
wABц = OA ω 2AB
или
wABц = АВ(ab / АВ)2 = (ab)2 / АВ.
Отложив в точке В (в соответствующем масштабе) ускорение полюса wA и приложив к его концу центростремительное ускоре% ние точки В во вращательном движении вокруг полюса А, на% правленное параллельно ВА от В к А, проводят из конца wАВц прямую, перпендикулярную ВА, т. е. прямую, параллельную вра% щательному ускорению wABВ.
Точка пересечения этой прямой с прямой, по которой на% правлено ускорение ползунка В, определит недостающую верши% ну многоугольника ускорений, благодаря чему можно будет най% ти графически модули ускорений wB и wABB.
Так как wABB = AB ґ ε AB, то, определив wABB, найдем модуль углового ускорения звена АВ по формуле:
ε AB = wABB / АВ.
Отложив найденное ускорение wABB из точки В, можно устано% вить, что его направление по отношению к полюсу А укажет на% правление углового ускорения шатуна ε AB. Если направления ε AB и wAB противоположны, то шатун в данный момент вра% щается замедленно. Зная ускорения концов шатуна АВ, можно определить графически ускорение любой точки шатуна.
Когда кривошип и шатун находятся на одной прямой, то мгновенный центр скоростей шатуна РАВ совпадает с точкой В, план скоростей шатуна АВ получает вид отрезка прямой, по% скольку направления ускорений wA и wАВц совпадают. При этом
wABB = 0,
ε AB = 0, wB = wA+ wАВц.
67
ЛЕКЦИЯ № 29. Сферическое движение
твердого тела
При движении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, все остальные точки тела движутся по сферическим по% верхностям, центры которых совпадают с неподвижной точкой. Такое движение называют сферическим движением твердого тела. Примером является движение волчка.
Воспользуемся двумя системами осей координат: неподвиж% ной системой OXYZ с началом в неподвижной точке О и подвиж% ной системой Оξηζ , неизменно связанной с твердым телом, с на% чалом в той же неподвижной точке О; здесь OJ — линия пересечения неподвижной плоскости XOY и подвижной плоско% сти ξОη , называемая линией узлов. Пусть
(x,J) =ψ, (z,ζ ) = θ , (J, ξ) = ϕ .
Углы ϕ, ψ, θ будут положительными, если при наблюдении навстречу осям z, J, ζ ,перпендикулярным плоскостям этих углов, можно видеть эти углы, отложенные от осей x, z, J в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки. Углы ϕ,, θ , ψ называют эйлеровыми углами: ψ — угол прецес% сии, θ — угол нутации, ϕ — угол собственного вращения.
При движении твердого тела углы меняются во времени, иначе говоря, они являются функциями от времени:
ψ = f1(t), θ = f2(t), ϕ = f3(t).
Их называются уравнениями сферического движения твер% дого тела.
Теорема Эйлера5Даламбера. Твердое тело, которое имеет одну неподвижную точку, можно переместить из одного положения в любое другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей че% рез неподвижную точку.
Проведем сферическую поверхность с центром в неподвиж% ной точке О и отметим положения двух точек тела А1 и В1 на этой
68
поверхности, которые после перемещения тела займут положе% ния А2 и В2 на той же поверхности.
Затем проведем через эти точки дуги больших кругов А1В1и А2В2, тогда положение тела в некоторый момент t1 определится точками А1 и В1, т. е. дугой А1В1, а его положение в момент t2 — той же дугой в новом положении А2В2. После этого проведем дуги больших кру% гов А1А2 и В1В2. Разделим эти дуги точками D и Е пополам и про% ведем из этих точек дуги больших кругов, перпендикулярные ду% гам А1А2 и В1В2, продолжив их до пересечения в точке С. Затем соединим точку С поверхности с ее центром О и покажем, что те% ло можно переместить из первого положения во второе поворо% том вокруг этой прямой. Соединим точку С с точками А1, В1, А2, В2 дугами больших кругов А1С, В1С, А2С, В2С. Получившиеся сфери% ческие треугольники А1СА2 и В1СВ2 равны по равенству трех сто% рон А1С = А2С и В1С = В2С, как стороны равнобедренных сфери% ческих треугольников А1СА2 и В1СВ2, а А1В1 = А2В2, как два положения одной и той же дуги. Из равенства треугольников вытекает А2СВ2 = А1СВ1. При этом угол сферического треу% гольника определяется углом между касательными, проведенны% ми в вершине угла к дугам, образующим этот угол. Прибавляя к обеим частям равенства А1СВ2, получим А1СА2 = В1СВ2 = α . Это означает, что сферический отрезок А1В1 можно переместить в по% ложение А2В2 поворотом вокруг неподвижной оси ОС, т. е. перемеще% ние тела из первого положения во второе можно осуществить одним поворотом вокруг этой оси.
ЛЕКЦИЯ № 30. Ускорения точек твердого тела
при сферическом движении
Процесс сферического движения тела представляет собой не% прерывный ряд вращений тела вокруг перемещающейся мгновен% ной оси, проходящей через неподвижную точку О. Эта ось, переме% щаясь в неподвижном пространстве, описывает коническую поверхность с вершиной в точке О. Коническая поверхность в виде геометрического места мгновенных осей в неподвижном простран% стве называется неподвижным аксоидом. Коническая поверхность в виде геометрического места мгновенных осей в движущемся теле называется подвижным аксоидом. Подвижный и неподвижный ак% соиды касаются друг друга по прямой, являющейся мгновенной осью вращения тела. При сферическом движении тела подвижный аксоид катится без скольжения по неподвижному аксоиду.
Для определения ускорения какой%либо точки при сфериче% ском движении используется формула v = ω ґ r. Тогда
w = dv / dt = dω / dt ґ r + ω dr / dt,
однако
dω / dt = ε , а dr / dt = v =ω ґ r.
Подставляя эти значения, получим:
w = ε ґ r + ω ґ v или w = ε ґ r + ω ґ (ω ґ r),
где ε ґ r = wEB — вращательное ускорение точки;
ω ґ v = ωΩoc — центростремительное ускорение точ ки.
Следовательно,
w = wE B + wΩoc .
70