teoreticheskaja_mekhanika-konspekt_lekcij
.pdf
няются как направление, так и модуль ее скорости. Это означает, что точка совершает неравномерно криволинейное движение. Модуль ускорения точки
a = aτ2 + an2 .
G G
При этом, если направления векторов v и a x совпадают, то дви% жение ускоренное, а если они противоположны, то движение замед5 ленное. Если модуль касательного ускорения постоянен a x = const, то модуль скорости точки изменяется пропорционально времени, т. е. точка совершает равнопеременное движение.
В начальный момент времени t0 = 0 начальная скорость точки |
||||
равна |
vG, а начальное значение дуговой координаты OM |
0 |
= s |
, |
|
0 |
0 |
|
|
тогда
dv
dt = aτ = const, dv = aτ dt.
Проинтегрируем уравнение в пределах, соответствующих точ% кам M и M0:
v t
∫dv = aτ ∫dt,
v0 0
v − v0 = aτ t, v = v0 + aτt.
Это выражение — формула скорости равнопеременного дви% жения точки. Тогда получится
ds
dt = v = v0 + aτt , ds = v0dt + aτtdt .
После интегрирования уравнения в пределах, соответствую% щих точкам M0 и M, получим:
|
|
∫s |
ds = v0 ∫t dt + aτ ∫t dt , |
|
|
||||
|
|
s0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
s − s |
0 |
= v t + a t 2 |
2, |
s = s |
0 |
+ v t + a t 2 |
2. |
||
|
0 |
τ |
|
|
0 |
τ |
|
||
Последнее выражение — это уравнение равнопеременного дви% жения точки. Если v 0 > 0, то при ускоренном движении a x > 0, а при замедленном движении a x < 0.
51
ЛЕКЦИЯ № 21. Движение, путь, скорость
и касательное ускорение точки
При движении точки по заданной траектории ее дуговая координата s = OM, пройденный ею путь σ , а также скорость vG и ускорение aG изменяются со временем, другими словами, они являются функциями времени. Наглядное представление о характере движения точки дают графики зависимости этих величин от времени. График движения точки — это график за% висимости ее дуговой координаты s от времени t. График пути можно построить по графику движения. Путь, пройденный точкой за некоторый промежуток времени, — это сумма абсо% лютных значений элементарных перемещений точки за дан% ный промежуток времени. Линия этого графика поднимается вверх независимо от направления движения точки и только при остановках точки превращается в прямую, которая парал% лельна оси времени t. На графике пути расстояния, пройден% ные точкой в промежуток времени [t1, t2], суммируются с пу% тем σ 1 = s1, пройденным к моменту времени t1. Путь, пройденный точкой к моменту времени t2: σ 2 = 2s1. Графики движения и пути изображаются одной и той же линией только при условии движения точки из начала отсчета в положитель% ном направлении, т. е. в промежутке времени [0, t1]. Алгебраи% ческая величина средней скорости движущейся точки за про% межуток времени [t1, t2] — это отношение приращения дуговой координаты к промежутку времени:
vср = (s2 − s1 )/(t2 − t1 ),
(s2 − s1 )/(t2 − t1 )= tgα1.
Следовательно,
vср = tgα1,
т. е. средняя скорость точки за этот промежуток времени равна тангенсу угла наклона секущей графика движения к оси време%
52
ни t. Алгебраическая величина скорости точки в некоторый мо% мент времени t:
v = ds
dt = tgα.
Следовательно, для определения скорости точки в любой мо% мент времени следует провести касательную к графику движения в соответствующей точке A и определить угол α наклона этой ка% сательной к оси t. Тангенс угла α равен алгебраической величине скорости точки в этот момент времени. График скорости показы% вает зависимость алгебраического значения скорости точки v от времени t. По графику скорости определяется алгебраическая ве% личина касательного ускорения точки:
аτ = dv
dt = tgβ .
Для определения касательного ускорения точки проводят ка% сательную к графику скорости в соответствующей точке B и нахо% дят угол β наклона этой касательной к оси t. Тангенс угла β обуславливает алгебраическое значение касательного ускорения точки в этот момент. График касательного ускорения изображает зависимость алгебраической величины касательного ускорения величины касательного ускорения ax от времени. Если движение точки неравномерно криволинейное, то для построения графи% ков нормального и полного ускорений точки числовые значения an и a для различных моментов времени определяют с помощью расчета по соответствующим формулам, пользуясь значениями v и ax, определенными по соответствующим графикам. Кроме того, значения радиуса кривизны R определяются по заданной траектории точки.
ЛЕКЦИЯ № 22. Простейшие движения
твердого тела
Существует 5 видов движения твердого тела:
1)поступательное;
2)вращательное;
3)плоское или плоскопараллельное;
4)сферическое;
5)общий случай движения твердого тела.
Простейшими движениями твердого тела являются поступатель% ное и вращательное движения. Поступательное — это такое движе%
ние твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается во все время движения тела параллельной своему начально% му положению.
Теорема. Все точки твердого тела, движущегося поступательно, описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения:
|
|
→ |
|
→ |
||
→ |
|
d vB |
|
d vA |
→ |
|
a |
= |
= |
= a A . |
|||
|
|
|||||
B |
|
dt |
|
dt |
||
|
|
|
||||
Общие для всех точек твердого тела, движущегося поступа% тельно, скорость vG и ускорение aG называются скоростью и уско5 рением поступательного движения твердого тела.
Вращательным движением твердого тела называется такое движе% ние, при котором все точки, принадлежащие некоторой прямой, не% изменно связанной с телом, остаются неподвижными. Эта прямая называется осью вращения тела. Определим положение вращающе% гося тела следующим образом: зададимся направлением оси враще% ния z, проведем через эту ось две полуплоскости: неподвижную по% луплоскость P и подвижную полуплоскость Q, связанную с твердым телом и вращающуюся вместе с ним. Двугранный угол ϕ между
этими полуплоскостями, отсчитываемый от неподвижной полупло% скости P к подвижной полуплоскости Q, называется углом поворота
тела. При вращении тела угол поворота ϕ изменяется в зависимо% сти от времени: ϕ = f(t) — уравнение вращательного движения тела.
Величина, характеризующая быстроту изменения угла пово% рота ϕ с течением времени, называется угловой скоростью тела:
54
ϖ ср = ϕ 
t ,
ϖ = limϖ |
ср |
= lim ϕ t = dϖ dt . |
t → 0 |
|
t → 0 |
Числовая величина, характеризующая быстроту изменения угло% вой скорости с течением времени, называется угловым ускорением тела:
|
|
εср = |
ϖ |
t , |
ε = lim ε |
ср |
= lim |
ϖ |
t = dϖ dt = ϖ . |
t → 0 |
|
t → 0 |
|
|
Пусть дана окружность, представляющая собой траекторию произвольной точки M тела. При этом R — расстояние точки от оси вращения, равное радиусу этой окружности. Если OC — ра% диус, лежащий в неподвижной полуплоскости P, а NC — радиус, лежащий в подвижной полуплоскости Q и вращающийся вместе с ней, то
OCN = ϕ = f (t ).
Угол NCM = α при вращении его сторон NC и MC вместе с те% лом не изменяется, т. е. α = const. Положение точки M можно определить дуговой координатой s, отсчитанной от неподвижной точки O в направлении отсчета угла поворота ϕ. Тогда
s = OM = R(ϕ + α ),
где углы ϕ и α выражены в радианах. Модуль скорости точки M:
v = ds dt = R dϕ dt = Rϖ .
Модуль вращательной скорости точки твердого тела равен произведению расстояния от точки до оси вращения на угловую скорость тела. Значит, модули вращательных скоростей различ% ных точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям от этих точек до оси вращения.
55
ЛЕКЦИЯ № 23. Векторные выражения
вращательной скорости, вращательного и центростремительного ускорений
Отложим вектор угловой скорости тела ϖ от любой точки оси вращения, направляя его по оси так, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть вращение часовой стрелки. Модуль данно% го вектора равен абсолютному значению угловой скорости:
ϖ = dϕ dt .
Здесь мы применяем правую систему осей координат, которой соответствует положительное направление вращения в сторону, обратную вращению часовой стрелки. При использовании левой системы вектор ϖ следует направить так, чтобы, смотря ему навстречу, видеть вращение тела происходящим в сторону враще% ния часовой стрелки. Псевдовекторы — это векторы, направления которых не зависят от принятой в каждом конкретном случае си% стемы координат. При сложении псевдовекторов действительны правила параллелограмма и многоугольника. Вектор углового ускорения εG характеризует изменение вектора угловой скорости ϖ в зависимости от времени, иначе говоря, он равен производ% ной от вектора угловой скорости по времени:
→→
ε= dϖ /dt.
Направление вектора εG совпадает с направлением вектора ϖ при ускоренном вращении и противоположно ему при замед% ленном. Вращательное ускорение точки твердого тела, которое вращается вокруг неподвижной оси, равно векторному произве% дению вектора углового ускорения тела на радиус%вектор этой точки относительно любой точки оси вращения:
→ → |
× |
→ |
aε = ε |
r . |
Центростремительное ускорение точки твердого тела, которое вращается вокруг неподвижной оси, равно векторному произве%
56
дению вектора угловой скорости тела на вращательную скорость этой точки:
→ → →
aϖ = ϖ × v .
Передаточные механизмы служат для передачи вращения от одного вала, который называется ведущим, к другому, называемо% му ведомым. Если оси ведущего и ведомого валов параллельны или пересекаются, то вращение можно передать с помощью фрик% ционной или зубчатой передачи. Во фрикционной передаче вра% щение передается вследствие действия силы сцепления на по% верхности соприкасающихся колес, в зубчатой передаче — от зацепления зубьев. Вращательная скорость vG в точке соприкаса% ния колес относится к точкам обоих колес:
v = r1ϖ1 = r2ϖ 2 .
Тогда
ϖ1 ϖ 2 = r2 r1 ,
т. е. угловые скорости колес фрикционной или зубчатой пере% дачи обратно пропорциональны радиусам колес. Отношение угло% вой скорости ведущего колеса к угловой скорости ведомого коле% са называется передаточным числом: i = ϖ 1/ ϖ 2.
Применяются также серии колес с неподвижными осями вра% щения в виде последовательного ряда с паразитными колесами и последовательного ряда с кратным зацеплением, называемые рядовыми соединениями колес. Передаточное число рядового со% единения с паразитными колесами равно отношению радиусов (чисел зубьев) ведомого и ведущего колес и не зависит от ради% усов (чисел зубьев) паразитных колес: i = z3/z1.
Общее передаточное число рядового соединения колес с кратным зацеплением равно произведению чисел зубьев ведомых колес, де% ленному на произведение чисел зубьев ведущих колес: i = z2z4/(z1z3).
ЛЕКЦИЯ № 24. Плоское движение
твердого тела
Плоское или плоскопараллельное движение твердого тела — это та% кое движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости. Плоская фигура, которая образована сечением тела этой неподвижной плоскостью, все время движения остается в этой плоскости.
Пусть дана система точек тела, расположенных на одном пер% пендикуляре к неподвижной плоскости Q, точка C1 движется в плоскости Q1, а точка C2 — в плоскости Q2. Обе эти плоскости па% раллельны неподвижной плоскости Q. При движении тела отрезок C1C2 остается перпендикулярным плоскости Q, т. е. остается парал%
лельным своему начальному положению, следовательно, траекто% |
|||
рии A1B1, A2B2, AB точек тела C1, C2, C тождественны и параллель% |
|||
ны, а их скорости и ускорения равны: vG = |
vG = |
vG, aG = |
aG = aG. |
1 |
2 |
1 |
2 |
Значит, движение каждой точки плоской фигуры в неподвижной плоскости Q определяет движение всех точек твердого тела, распо% ложенных на перпендикуляре к плоскости Q, восстановленном в этой точке. Изучение плоского движения твердого тела можно свести к изучению движения плоской фигуры в ее плоскости. Дви% жение плоской фигуры в ее плоскости можно рассматривать как движение прямолинейного отрезка в этой плоскости. Движение плоской фигуры в ее плоскости, а значит, и движение всего тела, определяют уравнениями плоского движения твердого тела:
x0 = f1 (t ), y0 = f2 (t ), ϕ = f3 (t ).
Зависимость между скоростями точек плоской фигуры уста% навливается по следующей теореме: скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса.
Пусть точка O — полюс, а скорость в этой точке равна vG0. Для нахождения скорости любой точки плоской фигуры, к примеру точки A, нужно провестиG из неподвижнойG плоскости O1 в точки O и A радиус%векторы R 0 и R A. Кроме того, проведем радиус%
58
G
вектор r 0A из полюса O в точку A. За все время движения между радиус%векторами сохраняется следующая зависимость:
→ |
→ |
→ |
RA |
= R0 |
+ r 0 A , |
G
где модуль r 0A = const. Тогда скорость точки A:
→ |
→ |
→ |
v |
= d RA |
dt = v0 — |
скорость полюса O. При движении плоской фигуры модуль ра% диус%вектора rG0A остается неизменным, а направление его при повороте фигуры изменяется. Следовательно:
→ |
→ |
|
|
d r 0 A dt = v0 A , v0 A |
= OA |
× ϖ . |
|
После подстановки получим
→ → |
→ |
v A = v 0 |
+ ϖ × r0 A . |
Следствие 1. Проекции скоростей точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, алгебраически равны.
Следствие 2. Концы скоростей точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропорцио% нальные расстояниям между соответствующими точками отрезка.
ЛЕКЦИЯ № 25. План скоростей.
Мгновенный центр скоростей
Зависимость между скоростями точек плоской фигуры дает воз% можность определять скорости точек этой фигуры наглядным по% строением — планом скоростей. Пусть известны скорости точек A, B, C и D плоской фигуры. Откладываем из произвольной точки O по направлению скоростей точек A, B, C и D отрезки Oa, Ob, Oc, Od, равные скоростям этих точек. Затем соединим точки a, b, c и d отрезками прямыхG .GТакоеG Gпостроение называется планом скоро% стей. Отрезки O a, O b, O c, O d, — лучи, а точки a, b, c, d — вершины плана скоростей. В треугольнике aOb:
→ → |
→ → |
→ |
→ |
Ob =Oa + a b, vB |
= v A |
+ v AB , |
|
тогда
→ →
ab = v AB .
Подобным образом составляем
→ → → →
bc = v BC , cd = vCD .
Каждый из отрезков, соединяющих вершины плана скоро% стей, геометрически равен вращательной скорости соответствую% щей точки фигуры вокруг другой точки как вокруг полюса, следо% вательно, ab = AB ϖ и ab AB , bc = BC и bc BC , cd = CD
и cd CD. Таким образом, многоугольник abcd подобен много% угольнику ABCD и повернут относительно последнего на 90°
всторону вращения движущейся плоской фигуры. Докажем, что
вкаждый момент времени существует точка, неизменно связан%
ная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент времени равна нулю. Данная точка называется мгновенным центром скоро5 стей.GПусть известны скорость некоторой точки O плоской фигу% ры v0 и угловая скорость фигуры ϖ в некоторый момент време% ни. Точка O является полюсом, тогда скорость любой точки
60