2. Плоскости в пространстве: взаимное расположение

2.1. Условие, при котором четыре точки лежат в одной плоскости

Четыре точки пространства – ,,,– лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторыкомпланарны, т.е. выполнено условие:

Равенство нулю определителя (12) означает, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , равен нулю.

2.2. Взаимное расположение плоскости и пары точек

Взаимное расположение точек и плоскости можно определить по следующим признакам:

1) выражения иимеют одинаковые знаки, в этом случае точкиилежат по одну сторону от плоскости;

2) числа и, определенные в п. 1, имеют противоположные знаки, в этом случае точкиилежат по разные стороны от плоскости (отрезокпересекает плоскость);

3) одно из чисел ,равно нулю или они оба равны нулю, в этом случае одна из точек,соответственно или обе точки принадлежат плоскости.

2.3. Расстояние от точки до плоскости

Рис. 18

Расстояние d от точки до плоскости(рис. 18) вычисляется по формуле:

2.4. Пучок плоскостей

Через одну фиксированную прямую в пространстве (рис. 19) проходит бесконечное множество плоскостей. Это множество называетсяпучком плоскостей, а прямая –осью пучка.

Рис. 19

Если пара различных плоскостей – и, принадлежащих пучку, задана уравнениямиисоответственно,и– произвольные, одновременно не равные нулю числа, то каждую плоскость пучка можно представить уравнением вида:

которое называется уравнением пучка плоскостей.

Замечание. Уравнение (14) также задает плоскости иНапример, приполучим уравнение плоскости, а при– уравнение плоскости.

2.5. Угол между плоскостями

Если пара плоскостей в пространстве (рис. 20) задана общими уравнениями: и, то косинус угла между этими плоскостями вычисляется по формуле:

Рис. 20

Замечание. Углом между плоскостями принято считать тот из образованных ими двугранных углов, который является острым. Обозначим значение выражения, полученного по формуле (15) через . Тогда приугол между плоскостями равен, а при– ().

2.6. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Утверждение 2. Пусть в пространстве заданы две плоскости: и. Тогда выполняется одно и только одно из трех условий:

1) плоскости не имеют общих точек ;

2) плоскости пересекаются по прямой или, или;

3) плоскости совпадают .

Пусть плоскости изаданы общими уравнениямиисоответственно. Очевидно, что рассматриваемые плоскости (рис. 21) параллельны в том, и только в том случае, если параллельны (коллинеарны) их нормальные векторы. Так как плоскостьимеет нормальный вектор, а плоскость–, то условие коллинеарности векторов соответствует условию:(для некоторого коэффициента пропорциональности). Для

Рис. 21

векторов, заданных координатами, это означает пропорциональность соответст-вующих координат. Таким образом, сог-ласно утверждению 2 несовпадающие плоскости ипараллельны, если выполняется условие:

Замечание. Если для плоскостей ивыполняется условие, то уравненияизадают в пространстве одну и ту же плоскость, представленную различными уравнениями, причем одно из уравнений легко получить из другого умножением его на соответствующий множитель.

Рис. 22

Если нарушается хотя бы одно из равенств в условии (16), то согласно ут-верждению 2 плоскости ипересекаются по прямой. В этом случае можно рассматривать угол, под которым пересекаются рассматриваемые плоскости. В случае перпендикулярности плоскостей (рис. 22) имеем перпендикулярность (орто-

гональность) их нормальных векторов, что соответствует равенству нулю их скалярного произведения. Таким образом, условие перпендикулярности плоскостей можно записать так:

Лекция 9. Прямая на плоскости (изучить самостоятельно)

1. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ: ВИДЫ УРАВНЕНИЙ