Лекция 12. Поверхности второго порядка

Общий вид уравнения поверхности второго порядка:

Классификация поверхностей

Основные виды невырожденных поверхностей и метод сечений

Невырожденные цилиндрические поверхности

Признаком цилиндрической поверхности ( в каноническом уравнении) является отсутствие одной из координат.

Например, на плоскости уравнение задает параболу, а в пространстве – параболический цилиндр. Лучше всего эту поверхность можно представить как «след» параболы, «протянутой» по осиOz.

Если в сечении цилиндра получается окружность, то он называется круговым, если эллипс – то эллиптическим, если гипербола – то гиперболическим.

Эллиптический цилиндр задается каноническим уравнением, параболический – уравнением (а также любыми другими уравнениями, задающим параболы на плоскости, например,, так как все три направления равноправны, поэтому в любом уравнении пространственной кривой можно менять оси координат местами, от этого изменится только ее ориентация в пространстве).Гиперболический цилиндр задается каноническим уравнением .

Образующие цилиндрической поверхности параллельны отсутствующей оси координат.

Пример: параболический цилиндр, заданный уравнением

Конические поверхности, или конусы

Каноническое уравнение конической поверхности . Если в каноническом уравнении поверхностиa=b, то конус называется круговым.

При построении пространственных фигур методом сечений мы рассматриваем сечение поверхности координатными плоскостями , а если они вырождаются в точки или не существуют, то рассматривают сечения плоскостями, параллельными координатным.

Рассмотрим сечение конической поверхности координатной плоскостью . Уравнение сечения найдем как решение системы уравнений, одно из которых – уравнение поверхности, другое – уравнение секущей плоскости. В простейшем случае (сечения координатными плоскостями и плоскостями параллельными координатным) достаточно просто подставить значение координаты в уравнение. Имеем:

Полученное уравнение определяет пару пересекающихся прямых , лежащих в плоскости.

Проведя аналогичные рассуждения для секущей плоскости , найдем уравнение сечения:, которое задает эллипс, лежащий в секущей плоскости.

График конической поверхности выглядит так :

Для наглядности конус изображен слегка развернутым.

Невырожденные поверхности второго порядка общего вида

Для поверхностей второго порядка справедливы все свойства соответствующих плоских кривых, с учетом того, что поверхности заданы в пространстве, а кривые – на плоскости.