Лекция 6. Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения (формулы Крамера, матричный метод)

Формулы Крамера для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными

В общем случае система из трех линейных уравнений имеет следующий вид:

В этом случае ее решения находятся по следующим формулам:

Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными матричным методом.

Общий вид СЛАУ (это частный случай, система из 3 уравнений с 3-мя неизвестными):

Можно записать данную систему в виде

, где ,,

Найдя решение этого матричного уравнения по известной формуле , мы сразу получим значения всех трех неизвестныхx₁,x₂,x₃.

Пример:

Решить СЛАУ:

В данной системе ,,.

Лекция 7. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау) методом Гаусса Суть метода Гаусса:

Пусть имеется СЛАУ из mуравнений сnнеизвестных.

Метод Гаусса позволяет решать любую СЛАУ, а не только квадратную (т.е. СЛАУ из mуравнений сmнеизвестных); он гораздо проще алгоритмизуем (для программирования на ЭВМ).

Рассмотрим матрицу системы:

Расширенная матрица системы:

MERGEFORMAT

Суть метода Гаусса (МГ) состоит в том, чтобы с помощью элементарных преобразований привести к верхнетреугольному виду расширенную матрицу системы. При этом из каждой строчки последовательно исключаются неизвестные.

здесь знаками * обозначены ненулевые элементы

Если матрица системы приводится к следующему виду:

, то система неразрешима.

1. Элементарные преобразовании допустимые при решении:

Пусть имеется СЛАУ. Следующие преобразования являются элементарными и сохраняют множество решений системы:

1. Перестановка строк в расширенной матрице системы ( но не столбцов !)

2. Умножение строки матрицы на любое отличное от 0 действительное число

3. Сложение строк

Элементарные преобразования матрицы обозначаются знаком . К ним не относятся: перемножение, деление двух строк, умножение строки матрицы на разные числа..

Пример решения СЛАУ методом Гаусса:

Преобразование расширенной матрицы системы:

Таким образом, с помощью метода Гаусса найдены решения исходной системы уравнений, равные .

Решить СЛАУ методом Гаусса:

Преобразование расширенной матрицы системы:

Третье уравнение системы является следствием первых двух, поэтому его можно исключить из рассмотрения. Разделив вторую строчку на 7, получим:

Мы получили систему уравнений, равносильную исходной:

В данном случае решение системы можно записать через независимые переменные и:

Найдем частное решение данной системы. Пусть , тогда.

Решение однородных слау

При решении однородных СЛАУ матрицу системы можно не расширять, т.к. , а вести преобразование только матрицы коэффициентов – матрицыA.

Пример:

Решить однородную СЛАУ

Преобразуем матрицу системы:

. Вторую строчку матрицы можно исключить из рассмотрения, так как из нее очевидно, что . Подставив в первую строку, получим уравнение, имеющее решение

Аналитическая геометрия

Лекция 8. Плоскость в пространстве

1. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ: ВИДЫ УРАВНЕНИЙ