Математический анализ

1. Понятие функции. Способы задания функции

Множество – совокупность объектов произвольной природы, объединенных каким-то признаком.

Подмножество N произвольного множества M обозначается так: .

В математическом анализе рассматривается множество действительных чисел, R. Пусть D и E – два подмножества множества R, таким образом, .Функцией f будем называть произвольное отображение множества D на множество E.

Множество D – область определения функции, E – множество значений функции.

Пример:

Пусть - функция, тогда,.

Одному значению аргумента может соответствовать несколько значений функции, по этому признаку различают однозначные и многозначные функции.

Способов задания функции существует несколько. Функция может быть задана:

1. выражением вида - явно

2. выражением вида ( например, уравнение эллипса) – неявно

3. параметрически – системой уравнений. Пример - параметрическое уравнение окружности

4. табличным способом

5. в виде графика (например, вольтамперная характеристика нелинейного элемента)

2. Основные элементарные функции

1. Степенные функции ,. Область определения зависит отn: если , то . Если , то, в остальных случаях

2. Показательные функции ,. Для них,. Отдельно выделяется функция( для нее область определения и множество значений такие же, как и для других показательных функций)

3. Логарифмические функции , причем. Для них,. Отдельно выделяется функция.

4. Тригонометрические функции: ,,. Для синуса и косинуса,. Для тангенса,.

5. Обратные тригонометрические функции: ,,. Область определения и множество значений этих функций:,

6. Гиперболические функции - ,,( гиперболический синус, косинус, тангенс). Графики их приведены ниже:

Гиперболические функции выражаются через показательные:

,,

Свойства этих функций: для всех гиперболических функций,для,дляи

7. Обратные гиперболические (ареафункции): ареасинус - , ареакосинус, ареатангенс.

3. Четность, нечетность, периодичность, ограниченность функций

Функция называется нечетной, если выполняется условие . Примеры нечетных функций: . Функция называетсячетной, если выполняется условие . Примеры четных функций: . Если ни одно из этих условий не выполняется, значит, функция четностью не обладает.

Функция называется периодической, если существует такое числоT, что( для любогоx из области определения функции). НаименьшееTс таким свойством называетсяпериодомфункции. Все гиперболические функции непериодичны.

Функция называется ограниченной на области своего определения, если. Если такогоM не найдется, значит, функция неограниченна. Ограниченные функции: .

4. Суперпозиция функций. Понятие сложной и элементарной функции.

Суперпозиция функции – это функция от функции. Суперпозиция функции f(x) и g(x) – это функция вида .

Пример: ,.,. Отсюда вполне очевидно, что.

Под элементарной функцией понимается функция, полученная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, умножения, умножения на число, деления и суперпозиции функции.

К неэлементарным функциям относятся:

,

- функция «сигнум»

Пределы и их применение.

1. Понятие последовательности. Примеры последовательностей.

Под последовательностью мы будем понимать функцию натурального аргумента.

Член последовательности обозначается .

Обычно последовательность задается формулойn-го члена:,- арифметическая прогрессия,- геометрическая прогрессия,,- гармоническая прогрессия,- факториал (растет быстрее всех элементарных функций),- степенно-показательная последовательность.

2. Понятие конечного предела последовательности.

Рассмотрим последовательности ,,

Рассмотренные последовательности образуют три случая:

1. Предел последовательности существует и конечен

2. Предел не существует ( равен бесконечности)

3. Предел не существует (последовательность ни к чему ни стремится)

Число a называется пределом последовательности , если

Число a называется пределом последовательности , если для всякого ипсилон, большего нуля, можно найти такое числоN, вообще говоря, зависящее от ипсилон, что для всех n, больших N выполняется неравенство: модуль разности предела a и n-го члена последовательности меньше ипсилон. Иными словами, если у последовательности существует конечный предел, то всегда можно указать номер члена, начиная с которого расстояние между членом последовательности и этим пределом будет меньше любого наперед заданного сколь угодно малого числа.

Пример:

Доказать, что ( найти).

, ,,,. Т.к.и, значит,

3. Понятие бесконечного предела последовательности.

Пусть . Говорят, что последовательностьимеет бесконечный

предел, если.

Иными словами, если у последовательности существует бесконечный предел, то всегда можно указать номер члена, начиная с которого член последовательности будет больше любого наперед заданного сколь угодно большого числа.

Покажем, что последовательность имеет бесконечный предел.

3. Теоремы о пределах. Второй замечательный предел (справедливо и для предела функции)

1. Пределом последовательности может быть либо любое действительное число, либо бесконечность, либо он вообще может не существовать.

2. Если , то

3. Если , то

4. , исключение разность -

Докажем, что . Исходя из определения конечного предела последовательности, для каждой из них можно записать:

5. (кроме 0 и )

6. (кроме случаев и), таким образом,,,

При раскрытии неопределенности вида может получиться, что предел либо не существует, либо равен бесконечности.

7. . Пять исключений: ,,,,.

В степенно-показательных выражениях считается, что .

Второй замечательный предел позволяет раскрывать неопределенности вида .

Примеры вычисления пределов последовательностей:

1. теореме о пределе отношения многочленов:

Примеры:

Аналогичная теорема справедлива и для дробных показателей степени.

2. Раскрытие неопределенности вида

В данном случае раскрытие неопределенности произведено с помощью алгебраического тождества , что позволяет освободиться от разности радикалов.

3. Раскрытие неопределенности вида

Замена выражения, содержащего ln, произведена на основании эквивалентности.

5. Предел функции.

Число aназывается пределом функции при, если какую бы окрестность точкиaмы ни взяли, найдется такая окрестность точки, что все значения функции попадут в окрестность точкиa.

Число aназывается пределом функции при, если какое бы числомы ни взяли, у нас найдется такое значение, зависящее от, что для всех, лежащих правее точки, значения функции попадут в окрестность точкиа.

Примеры:

Доказать, что . Действуем по определению конечного предела функции в точке:

В данном случае ,. Исходя из этого, запишем:,,,,

6. Теоремы о пределах функции. Теорема Вейерштрасса.

Все теоремы о пределах последовательности справедливы и для функций (т.к последовательность – частный случай функции).

Теорема о пределе элементарной функции:

Пусть - элементарная функция,, тогда.

Функция(последовательность) являетсямонотонно возрастающей, еслина участке()справедливо неравенство().

Функция(последовательность)ограничена,еслина промежутке()выполняется неравенство().

Теорема Вейерштрасса:

Если функция (последовательность) монотонно возрастает и ограничена, то она имеет предел.

6. Понятие бесконечно малой (б.м.) и бесконечно большой (б.б.) величины и их свойства.

Величина приназывается бесконечно малой, если. Примеры б.м. величин при:. При:

Величина приназывается бесконечно большой, если. Примеры б.б величин при:. При:.

Свойства бесконечно малых величин:

1. - б.м.

2. - б.м.

3. - б.м. (- б.б.)

4. - неопределенность. (при,ограничено в окрестности точки). Свойство справедливо на промежутке, еслиограничено на промежутке). Из этого свойства, в частности, следует, чтоне существует

5. Если - б.б., то- б.б. ( если)

Произведение бесконечно большой и ограниченной величины, вообще говоря, бесконечно большой величиной не является. Поэтому, например, не существует.

8. Эквивалентность и сравнение б.м. величин.

Пусть и- две бесконечно малые величины. Будем говорить, что величинаимеет больший порядок малости, чем, если. Если(), то эти две б.м. величины имеют одинаковый порядок малости (обычно считают, что). В этом случае в качестве эталонных б.м. используют. В этом случае порядок малости определяется показателем степениn. Две б.м. величины иприназывают эквивалентными, если. В этом случае, при расчете предела одну б.м. величину можно заменить на другую, ей эквивалентную.

8. Первый и второй замечательный пределы.

Первый замечательный предел:

Почему это так:

, т.к. при , значит, .

Второй замечательный предел:

8. Таблица эквивалентности

Эквивалентности применимы, если - б.м. величина

8. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация. Односторонние пределы и их вычисление

Число aназывается левосторонним пределом функции при, если какое бы числомы ни взяли, у нас найдется такое значение, что как толькопопадет в левостороннюю окрестность точки, все значения функции попадут в окрестность точкиа.

Число aназывается правосторонним пределом функции при, если какое бы числомы ни взяли, у нас найдется такое значение, что как толькопопадет в правостороннюю окрестность точки, все значения функции попадут в окрестность точкиа.

Если , то.

Примеры:

Функцияназывается непрерывной в точке, если. Другое определение, вытекающее из практики: функция называется непрерывной в точке, если в окрестности этой точки график функции можно провести, не отрывая руки.

Элементарная функция непрерывна в каждой точке ее естественной области определения.

Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

Элементарная функция на отрезке, принадлежащем ее естественной области определения, будет непрерывной.

Классификация точек разрыва.

1. , но не существует, то- точка устранимого разрыва

2. , то - точка разрыва первого рода

3. или не существует, то- точка разрыва второго рода

Очевидно, что в точке устранимого разрыва можно доопределить функцию так, что она станет непрерывной.

Примеры:

1. Точки устранимого разрыва:

Функция .,. Доопределив эту функцию в точке 0, получим непрерывную функцию, график которой представлен ниже.

Функция . В данном случае, но. Доопределим эту функцию в точке 1, получим:, график которой представлен ниже.

Функция . График ее представлен ниже. Данная функция элементарной не является.

2. Точки разрыва первого рода

Функция .,,не существует, 0 – точка разрыва первого рода.

Функция .,,, 1 – точка разрыва первого рода.

3. Точки разрыва второго рода, примеры.

Функция .,, ане определено, значит, 0 – точка разрыва второго рода.

Функция .,, ане определено, значит, 0 – точка разрыва второго рода.

Производная и ее применение.

1. Геометрический и физический смысл производной

Рассмотрим следующую задачу: найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке.

Для того, чтобы составить уравнение касательной, составим уравнение секущей AB., или, в параметрическом виде,(- координаты произвольной точки секущей,- координаты точкиB,- координаты точкиA). Представив касательную как предельной положение секущей при неограниченном сближении точекAиB, можно записать ее уравнение, используя понятие предела функции в данной точке:. Обозначая разностьза,за, можно записать эту формулу в виде:. Пределобозначим каки будем называть производной функции в данной точке. Теперь запишем окончательное уравнение касательной:

.

Физический смысл первой производной функции состоит в том, что она характеризует быстроту изменения физической величины: заряда (ток), координаты (скорость), скорости (ускорение).

2. Понятие производной. Вычисление производных для основных элементарных функций.

Производную можно вычислять по нескольким формулам:

, каждая из которых бывает полезна в конкретном случае.

Существует несколько обозначений для производной:

Производные основных элементарных функций вычисляются непосредственно по формулам, а более сложных – с помощью правил дифференцирования.

Пример вычисления производной элементарной функции :

3. Таблица производных элементарных функций. Правила дифференцирования

Функция	Ее производная
	(знаки соответствуют двум однозначным ветвям)

Правила дифференцирования:

с-const

Докажем формулу производную произведения:

Предположим, что непрерывные функции и имеющие производные.

Производные сложной функции

Примеры:

1.

2.

3.

Производная обратной функции:

-аргумент прямой функции

- аргумент будет обратной, если

- производная функции

- производная обратной функции

;

-переменная

Пользуемся прямой сложной функцией

-производная обратной функции

Пример:

Производная неявной функции.

Неявная функция задана уравнением:

При ∆x 0 F′x + F′yy′x =0

Пример:

I способ.

II сп.

Берем производную по x, считая y, функцией от x:

выражаем отсюда

Производная параметрически заданной функции.

Рассмотрим механическую задачу: вагонное колесо бежит по рельсам, радиус 1, центр ox и катится без проскальзывания

на ободе колеса удовлетворяется уравнению:

Эта прямая называется циклоидой.

Если точку рассмотреть не на ободе, а на реборде , то эти точки описывают гиперциклоиду.

Параметрически заданная функция задается системой 2-х соотношений:

Касательная будет зависеть от t

Пример: производная циклоиды

Логарифмическое дифференцирование

Пусть найдем связь между производной функции производной ее логарифма

Примеры:

1.от функции

Логарифмическое дифференцирование применяется также при нахождении производной степенно-показательной функции, т.е. функции вида

Запишем общую формулу для производной степенно-показательной функции:

Производная высших порядков

I Формула Лейбница

Итак, производная от производной называется 2-ю производной

Можно определить производную n-ого порядка:

Примеры:

Для производных произведения справедлива формула Лейбница, которая аналогична биному Ньютона.

Формула бинома Ньютона:

Формула Лейбница

Производные высших порядков для неявных и параметрически заданных функций

Для неявных заданных функций есть 2 способа:

I.способ - готовая формула. Попробуем ее вывести:

Заметим, что

Выразим :

II способ: последовательное дифференцирование

Пример:

Пример - циклоида:

Дифференциалы.

1. ”Дифферентио”-лат. ”разделить”

а) дифференциалом независимой переменной x будем называть:

1)приращение

2)формальное выражение вида

б)дифференциалом функции будем называть:

1) функцию 2-х независимых аргументов ,если производная в точкеx существует

2) формальное выражение вида x

II. геометрический смысл дифференциала

Пусть , в котором функцияимеет производную.

Это означает, что существует предел и этот предел конечный

Посмотрим как ведет себя функция в окрестностях

Эта запись показывает, что дифференциалы являются главной частью приращения функции и является отрезком, который отсекает касательная к графику функции от приращения.

Теоремы о дифференциалах. Связь между непрерывностью дифференциацией иррациональной функции

Теорема: .

Величина является бесконечной величиной более высокого порядка малости, чем.

Доказательство: из формулы (1)

, ч.т.д.

Теорема показывает, что

Теорема: функция ,имеющая в точкеконечную производную функцию непрерывна в этой точке

Функция, имеющая в данной точке конечную и отличную от нуля, называется дифференцируемой

Следствие: функция дифференцируемая в точке (на отрезке {а;в}) является непрерывной в данной точке(отрез.), обратное неверно.

Пример:

Инвариантность формы 1-го дифференциала

Пусть сложная функция. найдем ее дифференциал. В силу формулы для производной сложной функции

Для дифференциалов сохраняются все свойства производной

по формуле (1)

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Линейная аппроксимация

Аппроксимация - приближение

Пример:

Вычислить .

Дифференциалы высших порядков

Дифференциалом n-ого порядка называется формальное выражение вида

скобки есть,т.к.

Для дифференциалов высших порядков несправедливо инвариантности его формулы

Если бы формула второго дифференциала была инвариантна, то мы бы записали

Покажем, что эта формула несправедлива и выведем верную

Пример:

Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядка

Исследование функций и построение графиков

I.Схема исследования функций

1) нахождение области определения

2) выявление вопроса о четности и нечетности функции

3) выяснение вопроса о периодичности функции

4) отыскание точек пересечения графика функции с осями координат

5) отыскание интервалов знакопостоянства (если возможно) функции

6) исследование функции на непрерывность, нахождение точек разрыва и уточнения поведения функции вблизи точек разрыва

7) отыскание асимптот графика функции

8) отыскание локальных экстремумов функции и интервалов монотонности функции

9) отыскание точек перегибов и интервалов выпуклости и вогнутости графика функции

10) уточнение поведения функции на концах ее области определения и нахождения нескольких дополнительных точек для большей точности чертежа графика функции

11) окончательное построение графика функции с учетом проведенного исследования

II. определение: пусть єR, єR. Однозначное отображение множествавназывается действительной функцией одной действительной переменной

Множество - область определения функции

Множество - область значений функции

Элементарные функции - это класс функций, состоящий из степенных функций, многочленов, рациональных функций, показательных функций, логарифмических, тригонометрических, обратно-тригонометрических, гиперболических и обратно- гиперболических функций, а также из функций, полученных их перечисленных выше в результате 4-х арифметических действий и суперпозиции, применяемых коечное число раз.

Область определения функции - множество всех значений аргумента, при которых функция имеет смысл.

Примеры:

Четность и нечетность функции

Если одно выражение из данных условий не выполняется, то эта функция общего положения.

Примеры:

Периодичность функции

Определение: Функция называется периодической с периодом , если

Теорема: Если функции -периодические с периодами, соответственно и отношение периодов,то сумма, разность, произведение и частное этих функций является периодической функцией с периодом

Замечание: если с периодомt, то с периодомt/k

Примеры:

1)

2)

Точки пересечения с осями координат

Точки пересечения с осью Ox называются нолями функции

Определение:

Пример: найти точки пересечения с осями координат

Точки пересечения с ох,у=0

(8;0)-точки пересечения с ох

Точки пересечения с оу,х=0

(0;-2)-точка пересечения оу

Интервалы законопостоянства функции - это интервалы, где функция сохраняет знак (если “+”, то график находиться над осью ох, если “-”, то под ох). Функция может менять знак при переходе через нули функции или точки разрыва.

Пример:

+

-

+

1

-1

над

под

Асимптоты графика функции

Определение: прямая линия называется асимптотой кривой , если расстояние от текущей точки на кривой до этой прямой стремиться к нулю при неограниченном удалении точки вдоль кривой от начала координат к бесконечности.

Существуют наклонные и вертикальные асимптоты

1. уравнение вертикальной асимптоты: ,если

-точка разрыва 2-рода

Пример:

См. продолжение *

Теоремы о дифференцируемых функциях.

Правила Лопиталя.

I Теорема Ферма.

Лемма о монотонности дифференцированные функции:

Пусть f(x) дифференцируема в точке и пусть>0<0, тогда в некоторой окрестности точкивозрастает(убывает)

Доказательство:

Существует такая окрестность точки ,что выражение внутри окрестности >0.

Если >,

Для рассуждение провести самостоятельно

Теорема Ферма

Пусть -функция имеющая в каждой точке из окрестностиконечную производную и пусть в точкедостигается локальный максимум (минимум) функции.

Тогда =0 Доказательство следует из леммы

2. Теорема Роля.

Это теорема неконструктивна.

Пусть -непрерывная наи имеющая конечную производную в каждой точке открытого промежутка, функцияСуществует такая точка С, лежащая внутри, что

a<c<b

Доказательство:

Если функция постоянна, то доказывать нечего, т.к. в каждой точке открытого промежутка производная =0

Если функция непостоянна, то:

Пусть выходя из точки а функция возрастает, но тогда поскольку

Возрастание должно смениться убыванием.

Пусть это будет точка с, следовательно точка с есть точка локального экстремумапо теореме Ферма

Доказательство не дает реального алгоритма и поэтому теорема не конструктивна

III.Теоремы Лагранжа и Коши.

1. Теорема Лагранжа

Пусть непрерывна наи имеет конечную производную внутри

Тогда существует точка с такая, что -эта формула называется формула конечных приращений

,-непрерывны наи имеет коечные производные на,не является постояннойтогда существует такая точка с , что

Геометрическая иллюстрация к теореме Лагранта

Геометрическая теорем Лагранта

говорит, что в какой-то точке

tg угла наклона секущей равен tg угла

наклона касательной.

2)Теорема Коши-это та же самая теорема Лагранжа, только для параметрически заданной функции

Доказательство теоремы Лагранжа:

Если функции непрерывны на имеют конечные производные внутри

По теореме Ролля существует точка с такая, что

Правила Лопиталя для раскрытия неопределенности вида

Теорема

1. Пусть и- функции имеющие конечные производные на промежуткеи известно, чтона

2. Пусть

Доказательство:

Поскольку иимеют конечные производные, следовательно они непрерывны на этом промежутке. Доопределяем их так, чтов силу 2-го условия. Тогда по теореме Лагранжа

Поскольку a<c<x, то при

=

В случае, когда предел бесконечен, поменяв местами функции и, их можо свести к нулевому пределуможно свести к случаю, когдаt=0Првило Лопиталя справедливо для неопределенности в любом случае

При вычислении пределов, основанных на данной теореме, с выражениями можно производить любые алгебраические преобразования, использовать эквиваленты, замечательные пределы и пользоваться этим правилом много раз

Теорема 2

Правило Лопиталя для раскрытия неопределенности вида

,дифференцируемы на промежуткеи пусть существует предел при

Доказательство основано на следующем тождестве:

Покажем, что

Замечания:

Все условия из теорем правила Лопиталя существенны.

Пример: не существует

В данном примере правилами Лопиталя пользоваться нельзя

Применение правил Лопиталя для раскрытия неопределенностей различных типов.

Неопределенности вида

Неопределенностями вида раскрываются с помощью основного логарифма тождества

е

Продолжение *

2. Правила нахождения горизонтальных асимптот

Пусть - функция, определенная на, тогда прямаяявляется горизонтальной асимптотой тогда и только тогда, когда

Другими словами, расстояние между прямой и графиком функции

стремиться к 0 при .

другими словами, уравнение горизонтальной асимптоты

Надо рассматривать 2 случая.

Когда и когдавозможно, что эти два случая существенно различны

3) Наклонные асимптоты - это прямая, к которой график функции приближается

Допустим, что ее уравнение - это ; примем, чтоопределена на

Определение: прямая называется наклонной асимптотой для функцииопределенной на промежутке,если расстояние от графика функции до данной прямой стремится к 0 при, т.е.

Найдем уравнение наклонной асимптоты

Рассмотрим, что такое расстояние между графиком функции и асимптотой (АВ)

Проведем АС//оу

Вместо (*) мы можем найти

Рассмотрим (2)на x получим

Теорема: прямая является наклонной асимптотой к график функцийпри,если существуют пределы (3),(4), а предел (3) конечен и отличен от 0.

Замечание 1: при нахождении наклонной асимптоты надо рассмотреть 2 случая: когда и, они могут отличаться, но обычно нет.

Замечание 2: график функции может пересекать асимптоту. Справедливо и для горизонтальных асимптот.

Пример:

Y=x+1

Y=-x-1

Исследование функции с применением 1-ой производной. Точки экстремума.

Промежутки возрастания и убывания функции.

Основана на теореме Ферма и Лемме.

Определение: критическими мы будем называть следующие точки

1. точки, в которых производная =0

2. точки разрыва функции, в том числе и устранимого

3. точки, в которых производная обращается в бесконечность

4. точки, в которых производная не существует.

Алгоритм нахождения точек экстремума и промежутков возрастания и убывания:

1. находим критические точки

2. расставляем их на числовой оси в порядке их естественного возрастания

3. На каждом из промежутков проверяем знак производной. Можно пользоваться методом интервалов (но осторожно)

4) если

+ + - …

x₁ x₂ x₃ x_n

Если в окружности данной точки функция определена и производная меняет знак, то точка является точкой экстремума.

Примеры:

1. не точка экстремума

2. -критическая точка

+ +

0

не точка экстремума

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функций на отрезке

Если функция непрерывна, то как доказал Верштраас, она принимает на отрезкенаибольшее и наименьшее значение

Если функция определена на отрезкеи имеет на нем конечную производную за исключением быть может конечного числа точек , тогда существует алгоритм , который позволяет найти наименьшее и наибольшее значения

1. находим критические точки функции

2. выбираем среди них те, которые лежат в отрезке(могут попасть и на границы)

3. находим значение функции в критических точках и на концах промежутка

4. выбираем среди них наибольшие и наименьшие значения

Исследования функции при помощи 2-ой производной. Полное исследование функций и построения графиков.

2-я производная ответственна за форму графика функции.

I. функции выпуклые вверх, вниз. Точки перегиба

Функция называется выпуклой вниз если в окрестности точкиграфик ее располагается над касательной в данной точке.

Если функция выпукла вниз в каждой точке промежутка

, то говорят, что она выпукла вниз на промежутке

Встрогих курсах анализа доказывается , что данные определения выпуклых вверх и вниз функций равносильны следующим.

Функция выпукла вниз на промежуткеесли ее график расположен под хордой соединяетa и b

Заметим, что из этого определения можно получить следующее : функция выпукла вниз если

Означает, что для выпуклой вниз функции значения функции во внутренней точке промежутка< чем соответствующее значение на хорде АВ

Для выпуклой вверх:

Из них следуют неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

Пример: возьмемв неравенстве (1)

Если в точке функция расположена как под, так и над касательной, то такая точка называется точкой перегиба.

Замечание: в некоторых учебниках по анализу выпуклая вниз функция называется выпуклой, а выпуклая вверх-вогнутая.

2. исследование функции по 2-ой производной, нахождение промежутков выпуклости и точек перегиба

пусть в окрестностях точкифункция выпукла вниз

выпукла вверх

Правило рюмочек

Точки, в которых 2-я производная равна 0, являются критическими для 2-ой производной. Среди них могут быть точки перегиба.

Пример:

но х=0 точкой перегиба не является

Пример полного исследования функции:

5)

- < 0 +> 0 +> 0

½ 1

6) непрерывно всюду, критическая точка х=1

х=1-вертикальная асимптота

7) наклонной асимптоты нет

у=0-горизонтальная асимптота

8)

- + -

0 1

с(0;-1)-точка локального минимума

9)

- + +

-1/2 1