Лекция 3. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов и их свойства.

	Скалярное произведение	Векторное произведение	Смешанное произведение
Определение	Скалярным произведением называется (число) произведение длин векторов на косинус угла между ними	Векторным произведением векторов называется вектор, который: имеет длину перпендикулярен плоскости, в которой находятся вектора , направлен по направлению поступательного движения буравчика при вращении его от вектора к вектору	Смешанным произведением векторов ,,называется векторно-скалярное произведение. Результатом смешанного произведения векторов является число. Смешанное произведение векторов,,обозначается
Алгебраические свойства
Геометрические свойства	причем всегда справедливо условие Проекция вектора на направление	Площадь параллелограмма, построенного на векторах , равен где- угол между векторами Площадь треугольника, построенного на векторах ,	Объем параллелепипеда, построенного на векторах,, равен Объем пирамиды, построенной на векторах ,, равен Если , то тройка правая, если, то тройка левая.
Физический смысл	Работа силы	Момент силы	Не определен
Условие ра- венства нулю	если	и в том случае, если	если ,, - компланарные векторы
Вычисление в декартовой системе координат

Правило вычисления векторного произведения векторов :

Результирующий вектор имеет направление поступательного движения буравчика при вращении его ручки по направлению от первого вектора ко второму. На рисунке показана левая тройка векторов.

Вывод формул скалярного, векторного и смешанного произведении векторов в декартовой системе координат (ДСК).

1. Скалярное произведение вектора на вектор

Найдем скалярное произведение соответствующих ортов:

, так как орты – единичные векторы по определению

, так как орты перпендикулярны друг другу.

С учетом этого найдем скалярное произведение на :

2. Векторное произведение векторов:

; ;;.

Перемножая вектор на вектор, получим:

3. Смешанное произведение векторов

, ,,

найдем по правилам вычисления векторного и скалярного произведения векторов.

Лекция 4. Комплексные числа

1. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел (КЧ).

Под комплексным числом (КЧ) мы будем понимать абстрактное выражение , где, а. Числоназывают «мнимой единицей». Выражение вида-алгебраическая форма записи комплексного числа.

а – действительная часть КЧ, b – мнимая часть КЧ. Таким образом, если комплексное число z представить как , то, а.

2. Тригонометрическая и показательная форма записи КЧ.

Пусть дано комплексное число, тогда можно его представить как. Такой вид записи КЧ называется тригонометрическим. МножительR называется модулем КЧ, а число- аргументом. Они определяются из следующих соотношений:

,

Обратно к алгебраической форме записи можно перейти по формулам:

, причем ( иногда бывает удобнее использовать эти формулы наоборот, чтобы записывать КЧ в тригонометрическом виде).

В показательном виде КЧ можно записать с помощью формулы Эйлера: , тогда.

Пример: записать комплексное число в тригонометрической и показательной форме.

Найдем модуль и аргумент этого КЧ:

Окончательно запишем:

.

3. Сложение и умножение комплексных чисел. Их свойства.

Пусть даны два комплексных числа и. Найдем их сумму и произведение:

1. в алгебраической форме:

2. в тригонометрической и показательной формах записи:

Свойства сложения и умножения комплексных чисел:

Свойства сложения:

1. 

2. 

3. 

4. 

Свойства умножения:

1. 

2. : для всякого ненулевого комплексного числа z существует такое число z₁, равное частному от деления комплексно-сопряженного числа на модуль z, произведение которого на само число равно 1

3. 

4. 

5. - дистрибутивность умножения КЧ

4. Сопряжение КЧ. Деление КЧ.

Пусть дано комплексное число , тогда проведя операцию сопряжения комплексных чисел ( обозначается знаком) , получим:. В тригонометрической и показательной форме соответственно имеем:,.

Свойства сопряжения:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Деление комплексных чисел

Комплексные числа можно делить в алгебраической, тригонометрической и показательной форме. Пусть имеются два комплексных числа и. Частное этих чисел в алгебраическом виде находится по формуле. В показательной и тригонометрической форме частное найдем по формуле

Пример:

Разделить в алгебраической форме.

.

Проверка:

5. Формула Муавра. Нахождение корней из комплексных чисел.

Пусть .

Формула Муавра:

Корни из комплексного числа – решения уравнения . Их существует ровноn (). Пусть, тогда