1.5. Нормальное уравнение плоскости

Рассмотрим в ДПСК какую-либо плоскость Проведем через начало координат прямуюперпендикулярную плоскостии обозначим буквойточку пересечения прямойи плоскости. Возьмем на прямойединичный

Рис. 5

вектор , направление которого совпадает с направлением(в случае совпадения точекинаправлениевыберем произвольно). Обозначим дли-ну отрезкачерез. Запишем уравне-ние плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно к вектору:

Учитывая, что , получим уравнение:

называемое нормальным уравнением плоскости.

Замечание. Общее уравнение плоскости (3) легко приводится к нормальному виду при умножении его на соответствующий нормирующий множитель

взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена в уравнении (3).

1.6. Полярные параметры плоскости

Пусть плоскость задана нормальным уравнением (9). Тогда длинаперпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат, естьполярное расстояние плоскости. Полярное расстояние положительно или равно нулю. Полярными углами плоскости называют углы из уравнения (9), эти углы связаны между собой соотношением:. Полярное расстояние и полярные углы называютполярными параметрами плоскости.

Если плоскость задана общим уравнением: , то полярные параметры плоскости можно определить по формулам:

где в последних трех формулах системы (11) знак «+» берется при , а знак «–» – при. Если, то знак можно выбрать произвольно (в этом случае выбирают только знак «+» или только знак «–».

1.7. Особые случаи расположения плоскости в пространстве относительно системы координат

Исследуем общее уравнение плоскости (3):

1) при , плоскость не проходит через начало координат; в этом случае возможны следующие варианты расположения плоскости относительно системы координат:

а) при получим:или, плоскость параллельна осиОх и отсекает на осях координат Оу и Оz отрезки исоответственно (схематичное изображение плоскости такого вида для случая, когдаисм. на рис. 6);

б) при получим:или, плоскость параллельна осиОy и отсекает на осях координат Оx и Оz отрезки исоответственно (схематичное изображение плоскости такого вида для случая, когдаисм. на рис. 7);

Рис. 6

Рис. 7

в) при получим:или, плоскость параллельна осиОz и отсекает на осях координат Оx и Оy отрезки исоответственно (схематичное изображение плоскости такого вида для случая, когдаисм. на рис. 8);

г) при получим:, плоскость параллельна координатной плоскостиyОz (схематичное изображение плоскости такого вида для случая, когда см. на рис. 9);

Рис. 8

Рис. 9

д) приполучим:, плоскость параллельна координатной плоскостиxОz (схематичное изображение плоскости такого вида для случая, когда см. на рис. 10);

е) при получим:, плоскость параллельна координатной плоскостиxOy (схематичное изображение плоскости такого вида для случая, когда см. на рис. 11);

Рис. 10

Рис. 11

2) при , плоскость проходит через начало координат; в этом случае возможны следующие варианты расположения плоскости относительно системы координат:

а) при получим:, плоскость проходит через осьОх (рис. 12);

б) при получим:, плоскость проходит через осьОу (рис. 13);

Рис. 12

Рис. 13

в) при получим:, плоскость проходит через осьОz (рис. 14);

г) при получим:– уравнение координатной плоскостиyОz (рис. 15);

Рис. 14

Рис. 15

д) при получим:– уравнение координатной плоскостиxОz (рис. 16);

е) при получим:– уравнение координатной плоскостиxОy (рис. 17).

Рис. 16

Рис. 17

Замечание. В случае, когда , плоскость, представленную уравнением (3), называют плоскостью общего положения, проходящейили не проходящейчерез начало координат.