64 лекции по математике кн1
.pdfЛекция 4. Системыm уравнений с n неизвестными
4.1. Ранг матрицы. Мы рассматривали систему n уравнений с n неизвестными, у которой матрица невырожденная. А как быть, если матрица вырожденная ( (A) = 0) или m ≠ n, то есть число неизвестных не совпадает с числом уравнений?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, нам понадобится понятие ранга матрицы. Это некоторая числовая характеристика матрицы. Вводится она следующим образом. Выберем некоторые k строк и k столбцов и образуем матрицу порядкаk , которая состоит из элементов, стоящих на их пересечении. Определитель этой матрицы будем называть минором
k -го порядка.
Рангом матрицы A называется число r(A), равное наибольшему из порядков её миноров, отличных от нуля. Если все миноры равны нулю, что возможно только для нулевой матрицы, то r = 0.
Очевидно, что ранг — это число, удовлетворяющее неравенству
0 ≤ r ≤ min(m,n),
где m и n – размеры матрицы. Например,
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
, r(B) =1, |
A = |
3 |
4 |
|
, |
r(A) = 2; B = |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
так как все миноры второго порядка равны нулю.
Если матрица квадратная и невырожденная, то её ранг равен порядку матрицы.
Один из способов вычисления ранга – это «идти снизу», последовательно находя неравные нулю миноры первого, второго и следующих порядков.
4.2.Теорема Кронекера-Капелли. Выше при рассмотрении системы линейных уравнений мы ограничивались случаем, когда число уравнений совпадало с числом неизвестных и когда матрица системы была невырожденной. В этом случае система имеет единственное решение. Сейчас мы рассмотрим общий случай системы mуравнений с n неизвестными
a11x1 +a12x2 + +a1nxn =b1
a21x1 +a22x2 + +a2nxn =b2
am1x1 +am2x2 + +amnxn =bm
31
или в матричной форме |
|
A X = B. |
(4.1) |
Образуем так называемую «расширенную» матрицу Bɶ , полученную присоединением к матрице A столбца из свободных членов уравнений системы
a |
a |
… a |
b |
|
11 |
12 |
1n |
1 |
|
Bɶ = a21 |
a22 |
… a2n |
b2 . |
|
… … |
… … … |
|||
|
|
|
|
|
am1 |
am2 |
… amn bm |
||
Очевидно, чтоrang A ≤ rang Bɶ.
Вопрос о совместности системы решает теорема Кронекера-Капелли (Леопольд Крóнекер (1823-1891г.г.) – немецкий математик и Альфредо Капелли (1855-1910 г.г.) – итальянский математик).
Теорема Кронекера-Кaпелли. Система линейных уравнений (4.1) совместна тогда и только тогда, когда
rang A = rangBɶ
(принимаем без доказательства).
Проиллюстрируем эту теорему в случае системы трех уравнений с тремя неизвестными
a |
1 |
x + b y + c z = d |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||
a2x + b2 y + c2z = d2 . |
|
|
|
|
||||||
a x + b y + c z = d |
3 |
|
|
|
|
|||||
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a1 |
|
b1 |
c1 |
d1 |
|
||
Рассмотрим расширенную матрицуBɶ = a |
|
|
b |
c |
d |
|
. |
|||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
a |
|
b |
c |
d |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
3 |
|
|
|
Если det A ≠ 0 , то rang Bɶ = rang A = 3 и, следовательно, система совместна. Если det A = 0 и существует отличный от нуля определитель третьего по-
рядка, составленный из столбцов матрицы Bɶ , то rang Bɶ = 3, |
rang A < 3, и, |
значит, система несовместна. И, наконец, если = x = |
y = z = 0, то |
rang Bɶ < 3, rang A < 3 и, следовательно, в соответствии с теоремой Кро-
32
некера-Капелли система будет совместна тогда и только тогда, когда выполняется условие
|
rang A = rangBɶ. |
x + y + z = 6 |
|
Пример 1. 2x − y + z = 3 |
(A) = −5 ≠ 0 |
|
|
x − y + 2z = 5 |
|
rang A = 3, rang Bɶ = 3,
так как ранг не может быть больше числа строк. Система совместна. Найдите её единственное решение.
5x − y + 2z = 7 |
|
−1 |
2 |
|
|
|
5 |
|
|||
Пример 2. 2x + y + 4z =1 |
(A)= |
2 |
1 |
4 |
= 0, |
|
|
1 |
3 |
−6 |
|
x − 3y − 6z = 0 |
|
|
|||
(проверьте!), но есть минор второго порядка, отличный от нуля. Из расширенной матрицы образуем минор
5 |
−1 |
7 |
|
|
|||
2 |
1 |
1 |
= −35 |
1 |
−3 |
0 |
|
|
|
|
|
(проверьте!). Значит, rangBɶ = 3 и, следовательно, эта система несовместна. Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что система n уравнений с n неизвестными с отличным от нуля определителем всегда совместна. Её
единственное решение можно получить по правилу Крамера. В частности, однородная система уравнений, у которой все правые части равны нулю, а определитель не равен нулю, имеет единственное так называемое тривиальное решение.
Совместная система mуравнений с n неизвестными обладает единственным решением тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен числу неизвестных. Поясним это на следующем примере.
x + y − z = 0 |
|
|
1 |
1 |
−1 |
|
|
|
|
||||
Пример 3. 2x − y + z = 3 |
|
|
|
|||
Минор |
|
2 |
−1 |
1 |
= 3 ≠ 0, |
|
x − 3y + 2z =1 |
|
|
1 |
−3 |
2 |
|
2x − 5y + 4z = |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
33
поэтому rang A = 3. Вычислим минор четвёртого порядка расширенной матрицы Bɶ
1 |
1 |
−1 |
0 |
|
|
||||
2 |
−1 |
1 |
3 |
= |
1 |
−3 |
2 |
1 |
|
2 |
−5 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
(сложим третий столбец последовательно с первым, вторым столбцами)
|
|
0 |
−1 |
0 |
|
3 |
0 |
3 |
|
|
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|||||||
|
3 |
0 |
1 |
3 |
|
|
|||
= |
=− |
3 −1 1 |
= |
||||||
|
3 |
−1 |
2 |
1 |
|
6 |
−1 |
4 |
|
|
6 |
−1 |
4 |
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
(вычитая из первого столбца третий, получим)
|
0 |
0 |
3 |
|
2 |
−1 |
|
|
|
|
|||||
=− |
2 |
−1 1 |
=−3 |
= 0, |
|||
|
2 |
−1 |
4 |
|
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
значит,rangBɶ = 3. Система совместна и число неизвестных совпадает с рангом. Как найти ее решения? Нужно выписать те уравнения системы, которые дают отличный от нуля минор третьего порядка (так называемый базисный минор). В данном случае это три первых уравнения. Проверьте, что единственным решением системы этих уравнений будет (1, 2, 3) и оно удовлетворяет и оставшемуся уравнению. Это следует из того, что определитель расширенной матрицы равен нулю и, следовательно, элементы ее четвертой строки являются линейными комбинациями соответствующих элементов первых трех строк (см. свойство 9 определителей).
x − 2y + z = 3
Пример 4. x + 3y − z =1 , (A)= 0, rang A = 2.3x + 4y − z = 5
Из расширенной матрицы можно составить три минора третьего порядка (столбец свободных членов последовательно подставляется вместо коэффициентов при неизвестных). Убедитесь, что все они равны нулю. Значит, rangBɶ = 2. Система совместна, но ранг матрицы A меньше числа неизвестных, поэтому система имеет бесчисленное множество решений. Как их найти? Выписываем уравнения, «дающие» базисный минор, оставляя в ле-
34
вой части число неизвестных, равное рангу матрицы (причём оставляем те неизвестные, которые «входят» в базисный минор)
x − 2y = −z + 3 |
|
|
+ z |
x + 3y =1 |
|
Решаем эту систему, считая z произвольным параметром
x = |
1 |
|
|
|
−z |
+3 |
−2 |
|
= |
11− z |
|||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
+z |
3 |
|
|
|
|
|
||||||
5 |
|
|
|
5 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
3 |
−z |
|
= |
2(z −1) |
|
|||||||||
y = |
|
1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
5 |
|
|
1 |
1 |
+z |
|
|
|
|
|
5 |
|
||||
Сформулируем теперь общее правило, по которому решается совместная система линейных уравнений. Пусть rang A=r .
•Отыскиваем базисный минор порядкаr (он получается при нахождении ранга матрицы).
•Выбираем r уравнений, «породивших» базисный минор (остальные отбрасываем).
•Неизвестные, «входящие» в базисный минор, оставляем слева, а остальные (n − r) называем свободными и переносим в правые
части уравнений.
• Решаем полученную систему r уравненийr с неизвестными. Из этого правила следует, что в случае, когда ранг совместной систе-
мы меньше, чем число неизвестных, то эта система имеет бесконечно много решений. В частности, однородная система n уравнений с n неизвестными и равным нулю определителем, т.е. когда
rang A = rang Bɶ < n,
кроме тривиального имеет ненулевые решения.
35
Раздел 2. Векторная алгебра
Лекция 5. Векторы и линейные операции над ними
5.1.Основные понятия и определения. Понятие вектора сформировалось в физике, точнее в механике. Скорость, ускорение, сила определяются величиной и направлением и называются векторными величинами. Масса, объем, температура и т.п. определяются численным значением и называются скалярами или скалярными величинами. Вектор – это на-
правленный отрезок. Обозначается вектор символом a или AB, где точка A– начало, а B– конец.
B
A
Рис 5.1.
Длиной или модулем вектора называется расстояние между его на-
чалом и концом и обозначается | AB| или |a |.
Если начало и конец вектора совпадают, то он называется нулевым
вектором0.
Векторы называются коллинеарнымиa ||b , если они параллельны одной прямой.
Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости (очевидно, что любые два вектора компланарны).
Два вектора a и b равны, если они коллинеарны , одинаково направ-
|
|
лены a ↑↑ b |
и их длины равны | a |=|b |. Отсюда следует, что при пере- |
мещении вектора параллельно самому себе получим равный ему вектор. Единичным вектором или ортом называется вектор, модуль кото-
рого равен единице (| a |=1).
5.2. Линейные операции над векторами. Произведением вектора
a на числоk называется вектор b = k a , который:
•имеет длину |b |=| k | |a |
•коллинеарен векторуa (b 
a );
36
•если |
k > 0 , то |
|
↑↑ a ; |
b |
|||
•если |
k < 0 , то |
|
↑↓ a ; |
b |
•если k = 0, то b = 0.
Рис 5.2
Свойства этой операции: 3)(k + l)a = ka + la ; 4)k(a +
рирует следующий рисунок, где
2a
a
a +
1)k a = ak ; 2)k(la) = (kl)a ;
b) = ka + kb .Последнее свойство иллюст- k = 2.
a |
|
|
|
b |
2b |
|
|
|
|
|
b |
b |
|
|
|
|
|
b |
a + b |
|
|
|
|
|
|
|
2(a + b) |
|
|
|
Рис. 5.3 |
|
|
|
= (−1)a = −a называется противоположным вектору a . |
|
Вектор |
b |
||
|
|
|
= k a |
По определению операции умножения вектора на число вектор b |
|||
коллинеарен |
вектору a . Покажем, что имеет место обратное утвержде- |
||
|
|
|
|
ние: если два вектора коллинеарны |
(a ||b ), то существует такое число |
||
k ≠ 0 , что |
|
|
|
b = k a , и это число с точностью до знака равно отношению |
|||
|
|
|
|
длин этих |
векторов. Действительно, |
в случае, если a ↑↑ b , возьмем |
|
|
|
|
|
k =|b | / | a |. Тогда векторыb |
и k a направлены в одну сторону и их длины |
||
|
|
|
|
равны, т.е. b = k a . В случае |
a ↑↓ b выберем k = − |b | / | a |. |
||
37
|
|
Суммой двух векторов a и b |
называется вектор c = a + b , получае- |
мый по одному из следующих правил. |
|
|
|
Правило треугольника: начало вектора b совмещается с концом |
|
вектора a , тогда начало вектора c |
совпадает с началом вектора a , а конец |
– с концом вектора b (рис 5.4).
|
|
|
|
|
b |
|
a |
b |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a + b |
|
|
+ a |
|
b |
||
a |
|
|
|
|
b |
|
|
a |
|
|
|
Рис. 5.4
Из рисунка ясно, что порядок слагаемых может быть любой, т.е.
a + b = b + a .
Отсюда следует правило параллелограмма: на векторах a и b , имеющих общее начало, строится параллелограмм, тогда начало вектора c
совпадает с общим началом векторов a и b , а конец – с противоположной вершиной параллелограмма (рис.5.5).
Рис.5.5
Для суммы справедлив сочетательный закон(a + b) + c = a + (b + c). Заметим, что векторы не обязаны быть расположенными в одной
плоскости (см. рис. 5.6).
38
Рис.5.6
Отметим также операцию сложения с нуль-вектором
|
|
+ a = a |
a + 0 |
= 0 |
Разность векторов a и b определяется через введенные выше операции следующим образом
a − b = a + (−b)
Рис.5.7
5.3. Проекция вектора на ось. Напомним, что проекцией точки M
на ось L в пространстве называется точка M1 пересечения оси L и плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно этой оси (рис. 5.8).
39
L
M
M1
Рис.5.8 |
|
|
|
Проекцией вектора AB на ось L называется число ПрL AB, равное |
|
|
|
по модулю расстоянию между проекциями начала и конца вектора AB на |
|
|
|
ось L, и взятого со знаком плюс, если направление вектора A′B′ совпада- |
|
ет с направлением оси, и со знаком минус, если они |
направлены в проти- |
воположные стороны. |
|
|
B |
A |
ϕ |
|
L′ |
L
A′ B′
Рис.5.9
Из рисунка ясно, что осьLи вектор AB можно считать расположенными в одной плоскости П. Далее будем считать её совпадающей с плос-
костью чертежа. Под углом ϕ между осью Lи вектором ABбудем понимать меньший из углов, который отсчитывается от направления оси до направления вектора. При этом луч, совмещающий направление оси с направлением вектора поворачивается на угол 0 ≤ ϕ≤1800 .
Теорема. Пусть вектор AB составляет с направлением оси L угол ϕ. Тогда верна формула
Пр AB = AB cosϕ .
L
40