64 лекции по математике кн1
.pdf
x |
′ |
|
∫ |
|
= f (x) |
|
f (t)dt |
|
a |
x |
|
Другими словами: это означает, что интеграл с переменным верхним пределом интегрирования является первообразной для подынтегральной функции. Этот, казалось бы, частный факт имеет принципиальное значение. Во-первых, отсюда следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразную, а во-вторых, даже для «неберущихся» интегралов мы имеем теперь инструмент для её представления. Например, для функции
f (x) = e− x2 среди элементарных функций нет первообразной. Теперь мы можем представить её первообразную через определённый интеграл
x
∫e−t2dt .
0
33.4. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определённого интеграла как предела интегральной суммы, т.е. по формуле (33.2),– довольно сложная задача. Оказывается, что ее можно легко решить, имея одну из первообразных подынтегральной функции. Этот факт выражается основной формулой интегрального исчисления –формулой Ньютона – Лейбница
b
∫ f (x)d x = Φ(x) ba
a
= Φ(b) − Φ(a) ,
в которойΦ(x) означает одну из первообразных функции f (x) . Действительно, ранее мы выяснили, что интеграл с переменным
верхним пределом
x
F(x) = ∫ f (t)d t
a
является первообразной подынтегральной функции |
f (x) , непрерывной в |
||
промежутке a ≤ x ≤ b. Пусть Φ(x) любая другая первообразная |
f (x) . |
||
x |
|
|
|
Поскольку F(x) = ∫ f (t)dt = Φ(x) + C и |
F(a) = 0 ,тоC = −Φ(a).Поэтому |
||
a |
|
|
|
x |
|
|
|
имеем∫ f (t)dt = Φ(x) − Φ(a) .Полагая в |
последнем |
равенстве |
x = b |
a
,получаем
b
∫ f (t)dt = F(b) − F(a).
a
241
Лекция 34. Вычисление определённого интеграла
34.1.Интегрирование по частям и замена переменной. Пусть u(x) и v(x) – функции, непрерывные вместе со своими производными в промежутке [ a,b ] . Тогда функция F (x) u(x) v(x) является первообразной для
своей производной
F (x) u (x) v(x) v (x) u(x) .
По формуле Ньютона – Лейбница имеем
b
(u (x)v(x) v (x)u(x))d x u(x)v(x) ba
a
откуда
b |
|
|
b |
|
u(x)v (x)d x u(x)v(x) |
|
ba |
|
|
||
|
|
||
a |
|
|
a |
v(x)u (x)d x .
Учитывая, что v (x)d x |
d v и u (x)d x |
d u , полученную формулу за- |
||
пишем более компактно, |
помня, что u и |
v функции переменной x , изме- |
||
няющейся в промежутке [ a,b ] : |
|
|||
|
b |
b |
||
|
udv uv |
|
ba |
vdu . |
|
|
|||
|
|
|
||
|
a |
a |
||
Это и есть формула интегрирования по частям в определѐнном инте-
грале. Как и в случае неопределѐнного интеграла, еѐ целесообразно применять, если интеграл справа будет «проще», чем исходный интеграл.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линией y ln x , осью абсцисс и прямой x e . Искомая площадь (см. рис. 34.1) выражает-
|
e |
ся интегралом S |
ln x d x |
|
1 |
y
y ln x
1 |
x |
|
|
|
e |
|
Рис. 34.1 |
242
Интегрируем по частям u ln x, |
du |
1 |
dx, dv |
dx, v x |
||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||
|
|
e |
e |
1 |
|
|
|
|
e |
|
S x ln x |
|
x |
d x e x |
|
e e 1 1. |
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
1 |
x |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула Ньютона – Лейбница даѐт возможность установить правило замены переменной в определённом интеграле. Пусть требуется вычис-
лить интеграл
b
f (x)d x ,
|
|
|
|
|
a |
|
|
где функция |
f (x) |
непрерывна в промежутке |
[ a,b ] . Пусть функция |
||||
x |
(t) удовлетворяет следующим условиям: 1) |
(t) непрерывна вместе |
|||||
со своей производной |
(t) в некотором |
промежутке [ , ]; 2) сложная |
|||||
функция f ( |
(t)) |
должна быть определена в этом промежутке (для этого |
|||||
достаточно, например, потребовать, чтобы |
(t) была монотонна); 3)концам |
||||||
промежутка |
[ |
, ] |
соответствуют концы |
промежутка[ a,b ] ,т.е. ( ) a, |
|||
( |
) b или |
( |
) |
b , |
( ) a (см. рис. 34.2). |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
x (t)
x (t)
a |
a |
t |
t |
|
Рис. 34.2
При этих условиях имеют место формулы
b
f (x)d x |
f ( (t)) (t)d t |
a
(34.1)
b
f (x)d x |
f ( (t)) (t)d t |
a
243
Приведѐм доказательство первой из них. Пусть F (x) – одна из пер-
вообразных |
функции f (x) . Тогда F ( (t)) – первообразная функции |
f ( (t)) (t) . |
Действительно, |
Ft ( (t)) F ( (t)) (t) f ( (t)) (t) .
Применяя формулу Ньютона – Лейбница к обоим интегралам в первом из
b
равенств (34.1), получим, с одной стороны, f (x)d x F (b) F (a) ,а с дру-
a
гой
f ( (t)) (t)d t F ( (t) F ( ( )) F ( ( )) F (b) F (a) .
Аналогично можно убедиться в справедливости второго равенства в (34.1). Следует заметить, что, в отличие от замены переменной в неопределѐнном интеграле, здесь нет необходимости возвращаться к «старой» переменной. Если вычислены правые из интегралов (34.1), то, тем самым, вычислены и левые интегралы. Излишне упоминать, что не каждая подстановка ведѐт к упрощению: какую замену переменной следует применять –
это может подсказать лишь опыт.
Пример. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом, заданным
уравнением |
x2 |
|
y2 |
1. Ясно, что достаточно вычислить площадь четвѐр- |
|||||
a2 |
|
b2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
той части фигуры. Задача приводит к вычислению интеграла |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
x2 |
||||
|
|
|
|
Sэл 4b 1 |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
a |
2 |
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опыт вычисления неопределѐнных интегралов «подсказывает» замену пе-
ременной x(t) |
|
a sin t . Она удовлетворяет перечисленным выше услови- |
|||||||
ям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) и x (t) |
acost непрерывны в промежутке [0, / 2] |
||||||||
x(0) 0, x( |
/ 2) |
a |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция |
1 |
x2 (t) |
a2 |
1 |
sin2 t |
cost определена в [0, / 2] . |
|||
Произведя эту замену, получаем |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
Sэл |
4b |
cos2t dt |
2ab |
(1 cos 2t )dt ab . |
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
244
34.2. Вычисление площади фигуры в полярной системе коорди-
нат. Аналогом криволинейной трапеции в полярной системе координат
будет криволинейный сектор. Это фигура, ограниченная лучами |
, |
|
и кривой AB , заданной уравнением |
( ) , определяющим для ка- |
|
ждого значения угла расстояние от начала координат до соответствующей точки кривой AB (см. рис. 34.3).
k 1
k
B
k
A O R
O
Рис. 34.3
Предполагается, что функция |
( ) непрерывна в промежутке |
,. Будем сначала решать задачу вычисления площади криволинейного
сектора |
OAB приближѐнно. Для этого разобьѐм отрезок |
, |
на n час- |
||||||||||
тей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
n |
n 1 |
. |
|
||
Тогда «большой» криволинейный сектор разобьѐтся на |
|
n «узеньких» сек- |
|||||||||||
торов. Обозначим |
k |
k 1 |
k . Заменим каждый «узенький» криволи- |
||||||||||
нейный сектор круговым сектором, радиус |
которого примем равным |
||||||||||||
( k ), |
k [ k , |
k 1]. |
Площадь кругового сектора радиуса |
R и с цен- |
|||||||||
тральным углом |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Sсект. |
1 |
R2 . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому площадь сектора |
OAB приближѐнно выражается интегральной |
||||||||||||
суммой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
2 ( k ) |
k . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Переходя к пределу при n |
|
, причѐм так, что длина максимального из |
|||||||||||
частичных отрезков |
max( |
k ) стремится к нулю, получаем |
|||||||||||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
245
S lim |
1 n |
2 ( |
k ) |
|
1 |
|
2 ( )d . |
||
|
|
k |
|
|
|||||
2 k 1 |
2 |
|
|||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Если начало координат находится внутри области, огра- |
|||||||||
ниченной замкнутой кривой |
|
|
( ) , 0 |
|
2 |
, то площадь вычисляет- |
|||
ся по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
2 ( |
)d . |
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 0 |
|
|
|
|
||
Пример 1.
нением x2 y2
(см. рис.34.4).
Вычислить площадь круга, граница которого задана урав- R2 .Ясно, что достаточно найти площадь четверти круга
y
y 
R2 x2
x
O R
Рис. 34.4
Если вычисления проводить в декартовой системе координат, то получается «плохой» интеграл
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Skp |
|
|
R2 |
x2 dx . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Перейдѐм к полярным координатам по формулам: x |
cos |
, y sin . |
||||||||||||||||||||
Уравнение четвѐртой части окружности |
|
|
|
x2 |
y2 R2 |
в полярных коорди- |
||||||||||||||||
натах примет вид |
R, |
|
0 |
|
|
|
2. Поэтому |
|
|
|||||||||||||
|
1 Skp |
1 |
|
2 |
|
|
|
1 R2 |
|
|
|
|
R |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
R2d |
|
|
2 |
|
Skp |
R2. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
2 0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 2. Вычислить площадь, |
ограниченную одним витком спи- |
|||||||||||||||||||||
рали Архимеда и полярной осью. Спираль Архимеда можно рассматривать как траекторию точки, равномерно движущуюся по лучу, исходящему из полюса, в то время как этот луч равномерно вращается вокруг полюса. В полярной системе координат еѐ уравнение имеет вид a ,
246
a 0, a const . Один виток спирали получается при повороте луча на угол 2 .Искомая площадь выражается интегралом
|
1 |
2 |
|
2 |
|
a2 |
3 |
|
2 |
4 |
|
2 3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
S |
|
(a |
) |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
. |
2 |
|
2 |
3 |
|
|
3 |
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
P
O
Рис. 34.5
34.3. Вычисление площади фигуры, ограниченной кривыми, за-
данными параметрически. Интерпретируя определѐнный интеграл площадью криволинейной трапеции, мы предполагали, что кривая y f (x)
задана в явном виде. А как быть, если границы фигуры заданы параметрическими уравнениями? Заметим, что задание кривой в явном виде – это частный случай еѐ параметрического задания, когда в качестве параметра избрана переменная x :
x |
x |
a x b . |
|
y |
f (x) |
||
|
В выборе параметра мы располагаем большой свободой. Например, при вычислении площади эллипса мы представляли его уравнение в параметрическом виде следующим образом:
x |
a sin t |
0 t |
|
. |
y |
b cost |
|
||
2 |
Таким образом, замена переменной в определѐнном интеграле – это, по сути, переход к другой параметризации кривой y f (x) . Поэтому, если
часть кривой, площадь под которой нас интересует, задана параметрически, то применяется формула
|
b |
|
x |
x(t) |
|
|
|
S |
y(x)dx |
y(t)x (t)dt , где |
t |
. |
|||
y |
y(t) |
||||||
|
a |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
247
Пример 3. Найти площадь, ограниченную астроидой, заданной уравнениями
x a cos3 t
0 t 2
y a sin3 t
Астроиду можно рассматривать как траекторию фиксированной точки окружности, катящейся изнутри по окружности радиуса a и имеющей радиус a / 4 (см. рис. 34.6).В силу симметрии фигуры, вычисляем четвѐртую часть еѐ площади
1 |
|
a |
0 |
2 |
S |
|
y(x)dx |
a sin3 t 3acos2t( sin t)dt 3a2 sin2 t cos2t sin2 tdt |
|
4 |
|
|||
|
0 |
2 |
0 |
|
|
|
Y t=pi/2
|
t=0 X |
0 |
a |
Рис. 34.6
После применения формул понижения степени тригонометрических функций получим
1 |
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S |
a |
2 |
sin |
2 |
2t (1 |
cos2t)dt |
a |
2 |
sin |
2 |
2t dt |
a |
2 |
|
sin |
2 |
2t cos 2tdt |
|
|||||||||||||||||||
4 |
|
8 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
a2 |
|
|
(1 cos4t)dt |
a2 |
sin2 2t d sin 2t |
|
a2t |
|
|
|
a2 sin 4t |
|
0 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
16 |
|
|
16 |
16 |
|
0 |
|
64 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
a2 sin3 2t |
|
2 |
3 |
a2 |
S |
3 |
a2 . |
|
|
|||||||||
16 |
|
0 |
32 |
8 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
248
Лекция 35. Другие приложения определённого интеграла
В предыдущей лекции мы применили определенный интеграл к вычислению площадей фигур. Здесь будут рассмотрены другие его приложения.
35.1. Вычисление объёма тела с известной площадью поперечного сечения. Пусть некоторое тело в направлении оси абсцисс находится в пределах отрезка [a,b]. Как обычно, разбиваем этот отрезок на n частей и через точки деления проводим плоскости P, перпендикулярные оси Ox. Эти плоскости рассекут тело на «дольки». На рисунке изображена одна из них.
S(xk ) |
P |
S(xk+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
xk |
xk+1 |
|
b |
|
|||
xk |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 35.1 |
|
|
|
|
|
||
Предполагается, что для каждого значения |
x известна площадь |
сечения |
|||||||
S(x). Предполагается, что это непрерывная |
функция. Объём |
каждой |
|||||||
«дольки» можно приближённо вычислить как объём цилиндра с площадью основания S(xk ) и высотой xk . Поэтому объём тела приближённо равен сумме объёмов таких цилиндров
n
V ≈ ∑S(xk ) xk
k=1
Точное значение объёма получим, увеличивая число n точек деления от-
резка [a,b]. При этом длина наибольшего из отрезков λ = max( xk )долж- |
|||
|
|
|
k |
на стремиться к нулю, т.е. находим предел интегральной суммы |
|||
n |
|
|
b |
V = lim ∑S(xk ) xk = ∫S(x)d x |
|||
n→∞ |
|
|
|
λ→0 k=1 |
|
|
a |
Пример. Найти объём части кругового цилиндра x2 + y2 = R2 , отсе- |
|||
чённого плоскостями x = 0, z = 0, |
z = |
h |
y. |
|
|||
|
|
R |
|
249
z
|
|
|
|
|
|
z = |
h |
y |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
||
|
|
|
h |
||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|||
x |
|
R |
|||||||
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 − x2 |
|||||
R |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
R |
|||||
|
|
|
|
||||||
x |
|
R2 − x2 |
|||||||
|
Рис. 35.2 |
||||||||
Через фиксированную точку |
x [0,R] проводим плоскость, перпендику- |
||||||||
лярно оси Ox. Сечение тела представляет собой прямоугольный треугольник, площадь которого
|
1 |
|
|
|
|
h |
|
|
= |
h |
(R2 − x2 ) . |
||||||||||
S(x) = |
|
|
|
|
|
|
R2 − x2 |
||||||||||||||
|
|
R2 − x2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
2R |
|
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда объём |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
R |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
V = ∫S(x)d x = |
|
h |
∫(R2 − x2 )d x = |
h |
(R2 x − |
x |
|
) |
|
= |
1 |
hR2 . |
|||||||||
|
2R |
2R |
|
|
|
||||||||||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
35.2.Вычисление объёмов тел вращения. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная кривой y = f (x), a ≤ x ≤ b, вращается относительно оси Ox. Найдём объём полученного тела вращения.
y = f (x)
a |
b |
Рис. 35.3
Поскольку нам известна площадь поперечного сечения тела для каждого значения x , а именно (сечение – круг): S(x) = π f 2 (x),то
bb
Vx = ∫S(x)d x = π∫ f 2(x)d x .
aa
250