64 лекции по математике кн1

Из определения неопределенного интеграла непосредственно следуют формулы, подчёркивающие, что операции интегрирования и дифференцирования с точностью до постоянной взаимно обратные

(∫ f (x)dx)′ = f (x),d(∫ f (x)dx)= f (x)dx ,

∫ f ′(x)dx = f (x) + C, ∫df (x) = f (x)+ C.

Это аналогично тому, как операции возведения в целую степень и извлечение корня, проведённые последовательно друг за другом, оставляют без изменения число, к которому они применялись

(na)n = a, nan = a, a > 0.

Отметим два свойства, непосредственно вытекающие из соответствующих правил дифференцирования: постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

∫k f (x) dx = k ∫ f (x)dx (k = const),

инеопределённый интеграл суммы или разности конечного числа функций равен соответствующей сумме (разности) интегралов этих функций,т.е.

∫( f (x) ± g(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫g(x)dx.

Для нахождения производной функции, полученной из основных элементарных функций с помощью алгебраических операций или суперпозиции, применялись таблица производных основных элементарных функций и правила дифференцирования. Формально, таблица интегралов элементарных функций может быть получена, если переписать справа налево таблицу производных. Однако для практического применения целесообразнее привести таблицу интегралов в следующем виде:

∫sin xdx = −cosx + C ∫cos xdx = sin x + C

dx dx

∫ = tgx + C ∫ = −ctgx + C cos2 x sin2 x

В некоторых формулах здесь стоят знаки абсолютных величин. Это расширяет применение формул и на отрицательные значения выражений, стоящих под знаком модуля. Проверим, например, формулу

Умение находить первообразные элементарных функций, или, как ещё говорят, умение «брать интегралы» – своего рода искусство. Суть методов интегрирования сводится к преобразованию данного интеграла к табличному виду.

dx dx

= ∫ + ∫ = tg x − ctg x + C , cos2 x sin2 x

где при вычислении интеграла суммы нескольких функций сумма произвольных постоянных, которая при этом получается, заменена одной постоянной.

Следует отметить, что некоторые интегралы не могут быть выражены через элементарные функции. В частности, это касается интегралов следующих функций:

29.2.Интегрирование методами подстановки и замены переменной. Еще одно важное свойство неопределенного интеграла, основанное на инвариантности формы первого дифференциала, позволяет находить интегралы функций, не входящих в таблицу.

Пусть

∫f (x)dx = F(x) + C

иформально подставим в эту формулу функцию x = ϕ(t) ,производная которой непрерывна. Тогда получим так называемую формулу подстановки

∫f (ϕ(t))ϕ′(t)dt = ∫ f (ϕ(t))dϕ(t) = F(ϕ(t)) + C .(29.1)

Покажем, что формула (29.1), действительно, верна. Для этого найдём производную по переменной t правой части этого выражения

Fx′(ϕ(t))ϕ′(t) = f (ϕ(t))ϕ′(t).

Таким образом, правая часть в (29.1) является первообразной подынтегрального выражения слева.

Применение этой формулы позволяет находить интегралы сложных функций, используя таблицу основных интегралов. Например, найдем

∫cos(3x + 2)dx .

213

Зная, что

∫cosudu = sinu + C

иделая вэтойформулеподстановкуu =3x+ 2, получим

∫cos(3x + 2)d(3x + 2) = sin(3x + 2) + C ,

откуда найдем

∫cos(3x + 2)dx = 1sin(3x + 2) + C . 3

Этот прием, основанный на подстановке некоторой функции в готовую формулу табличного интеграла, называют методом подстановки.

Рассмотрим теперь приём интегрирования с помощью замены переменной. Предположим, что нужно найти интеграл∫ f (x)dx. Заменяем

переменную интегрирования некоторой дифференцируемой функцией x = ϕ(t) , имеющей обратную функцию t = ψ(x) . Предположим также, что ϕ′(t) непрерывна. Тогда справедлива формула замены переменной в неопределенном интеграле

Действительно, пусть F(x) первообразная f (x) . Тогда по формуле подстановки правая часть этого выражения равна

∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt = F(ϕ(t)) + C = F(x) + C

при x = ϕ(t) , что подтверждает справедливость формулы (29.2).

Прием замены переменной состоит в том, чтобы сделать такую замену, при которой для подынтегральной функции в полученном интеграле справа в (29.2)может быть найдена первообразная.

a2 − x2 = a2 − a2 sin2 t = acost , dx = acostdt .

Следовательно,

214

Перейдём от переменной t к переменной x . В промежутке −a ≤ x ≤ a

существует обратная функция t = arcsin x , поэтому a

Заметим в заключение этой темы, что в некоторых случаях замену переменной непосредственно не осуществляют, а применяют так называе-

215

Лекция 30. Методы интегрирования (продолжение)

30.1.Интегрирование простейших иррациональностей. Рассмотрим только простейшие случаи иррациональных подынтегральных функций.

Если интеграл содержит иррациональность вида nax +b (a ≠ 0), то приме-

Первый из них сводится к табличному интегралу выделением полного квадрата в подкоренном выражении. Для нахождения второго интеграла следует в числителе выделить дифференциал квадратного трехчлена

В интегралах вида ∫a2 − x2 dx , ∫a2 + x2 dx, ∫x2 − a2 dx освобож-

даются от иррациональности применением тригонометрических подстановок. Для первого интеграла применяется замена x = asin t (можно x = acost ) и используется тождество sin2 t + cos2 t = 1; для второго – за-

30.2. Интегрирование по частям. Рассмотрим метод интегрирования, который позволит нахождение одного интеграла заменить нахождением другого, «более простого». В основу этого метода положено следующее рассуждение. Пусть u(x) и v(x) – две функции, имеющие непрерывные производные на некотором интервале. Найдем дифференциал d(u v)от произведения этих функций

d(u v) = u dv + v du ,

где dv = v′(x) dx, du = u′(x) dx . Перепишем это выражение в виде

udv = d(u v) − v du

и проинтегрируем обе его части. Учитывая, что ∫d(u v) = u v, получим

формулу интегрирования по частям

∫u(x) dv(x) = u(x) v(x) − ∫v(x) du(x) .

Метод интегрирования по частям состоит в представлении интеграла

∫ f (x)dx

в виде ∫u(x)dv(x) так, чтобы интеграл ∫v(x)du(x) в правой части форму-

лы интегрирования по частям оказался «более простым». При нахождении функции v(x) можно произвольную постоянную C , возникающую при этом интегрировании, положить равной нулю.

Найдем интеграл ∫x e−xdx. Введем обозначения:u(x) = x, dv(x) = e− xdx . Тогда du(x) = dx и v(x) = −∫e−xd(−x) = −e−x .

217

Применяя формулу интегрирования по частям, получим

∫x e− xdx =x (−e− x )− ∫−e− xdx = − x e−x − e−x + C .

Формула интегрирования по частям предполагает разбиение подынтегрального выражения на два множителя u(x) и dv(x), причем при переходе к правой части первый дифференцируется, а второй интегрируется. Нужно стараться, во-первых, чтобы интегрирование дифференциала dv не представляло трудностей и, во-вторых, чтобы интеграл ∫v(x)du(x) имел

более простое подынтегральное выражение. Так, в предыдущем примере было бы «неразумно» положить u = e−x , а dv = xdx. Действительно, в этом случае

∫x e− xdx = x2 e−x − 1 ∫x2 e− xdx,

2 2

мы получили более сложный интеграл, чем первоначально данный. Заметим, что если мы имеем интегралы вида ∫Pn (x)sinkxdx,

∫Pn (x)coskxdx, ∫Pn (x)ekxdx, ( Pn (x) – многочлен n-ой степени), то следует выбратьu(x) = Pn (x). При этом интегрирование по частям проводится столько раз, какова степень многочлена Pn (x). Если же имеем интегралы вида

∫Pn (x)arcsinkxdx, ∫Pn (x)arccoskxdx , ∫Pn (x)arctgkxdx,

∫Pn (x)arcctgkxdx, ∫Pn (x)loga kxdx,

то выбираем в качестве функцииu(x) либо обратную тригонометрическую функцию, либо логарифм.

30.3. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Разнообразие тригонометрических функций и особенно формул, их связывающих, приводит к большому выбору методов вычисления интегралов, содержащих тригонометрические функции. Рассмотрим некоторые из этих методов интегрирования.

Для нахождения интегралов вида ∫sinαxcosβxdx, ∫sinαxsinβxdx,

∫cosα xcosβ xdx, где α , β – действительные числа, следует преобразовать

произведения тригонометрических функций в суммы по формулам

218

sinαx cosβx = 12(sin(α − β)x + sin(α + β)x), sinαx sinβx = 12(cos(α − β)x − cos(α + β)x), cosαx cosβx = 12(cos(α − β)x + cos(α + β)x).

Рассмотрим несколько случаев нахождения интегралов вида

∫sinα xcosβ xdx

взависимости от различных значений чисел α и β .Если хотя бы одно из чисел α или β –положительное целое нечетное число, то поступают сле-

дующим образом: отделяют от тригонометрической функции в нечетной степени функцию в первой степени и вносят ее под знак дифференциала. Оставшуюся четную степень тригонометрической функции преобразуют с использованием формулы sin2 x + cos2 x =1.

Если α и β –четные неотрицательные числа, то степени синуса и косинуса понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью формул:

219

функция синуса и косинуса, можно привести к интегралу рациональной дроби (правильной или неправильной)с помощью универсальной тригонометрической подстановки

t = tg x, (−π < x < π) . 2

В этом случае sin x иcos x выражаются по известным тригонометрическим формулам через новую переменную t следующим образом:

220