64 лекции по математике кн1

сунке 25.1. Отметим, что при этом все точки эллипса лежат внутри прямо-

це, тем меньше отношение b и тем больше эллипс вытянут. a

25.2. Гипербола. Множество всех точек M плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная,

называется гиперболой. Указанная разность берѐтся по абсолютному зна-

После преобразований, аналогичных тем, которые были проделаны для уравнения эллипса, соотношение приобретает вид

181

гонали которого мы получим асимптоты. Обе бесконечные ветви рисуем неограниченно приближающимися к ним (рис. 25.2). Фокусы находятся на

y x являются асимптотами, перпендикулярными друг к другу.

Отношение расстояния между фокусами к расстоянию между вершинами гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается

как и для эллипса, эксцентриситет гиперболы определяется отношением еѐ осей. Он характеризует форму основного прямоугольника гиперболы. Чем

меньше эксцентриситет, тем меньше отношение ba , то есть основной пря-

моугольник более вытянут в направлении действительной оси. Для равно-

184

Лекция 26. Парабола. Приведение кривых к каноническому виду

26.1. Парабола. Множество всех точек плоскости, равноудалѐнных от данной точки F (фокуса) и данной прямой L (директрисы), называется параболой. Расстояние от фокуса до директрисы параболы принято обозначать через p (рис. 26.1). Величину p называют фокальным парамет-

ром параболы.

Для получения уравнения параболы необходимо ввести систему координат на плоскости. Проведѐм ось абсцисс через фокус параболы перпендикулярно директрисе, будем считать еѐ направленной от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и ди-

Рис. 26.1

Координаты произвольной точки M параболы обозначим x и y , за-

185

Возведя обе части равенства в квадрат получим каноническое уравнение

то переменная x должна быть неотрицательной. Это означает, что парабо-

(рис. 26.1). Ось симметрии параболы (в данном случае совпадающая с осью Ox ) называется еѐ осью. Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется еѐ вершиной (в нашем случае вершина совпадает с началом координат). Для описания геометрического смысла фокального пара-

«ширину» области, ограниченной параболой.

Кроме рассмотренных классических кривых, уравнение линии второго порядка может привести ещѐ к нескольким геометрическим случаям, называемым вырожденными.

26.2. Вырожденные случаи. Если в уравнении линии второго поряд-

ка

коэффициенты B D E F 0 , то остаѐтся только два слагаемых, т.е. Ax2 Cy2 0 . При одинаковых знаках A и C уравнению соответствует на плоскости одна точка – начало координат. При разных знаках A и C – па-

186

одинаковых знаках коэффициентов C и F решений нет, а при разных знаках C и F получаются две параллельные прямые.

Ax2 Cy2 F 0 коэффициенты A 0,С 0, F 0, то опять ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости.

26.3. Приведение уравнения линии второго порядка к канониче-

скому виду. Мы рассмотрели все геометрические ситуации, к которым может привести общее уравнение линии второго порядка (п. 26.2). В задачах аналитической геометрии обычно задаѐтся вид уравнения второго порядка с конкретными числовыми коэффициентами. В нѐм могут присутствовать произведение координат x и y (т.е. B 0 ) или переменные x и y

без квадратов ( D 0 или Е 0 ). Это будет означать, что в исходной системе координат уравнение не является каноническим. Нужно перейти к другой системе координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид. Это даст возможность определить, к какому из рассмотренных случаев относится заданное уравнение. После этого легко будет построить график заданной кривой.

Для приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду используются только те преобразования системы координат, которые не изменяют расстояния между точками, то есть не деформируют кривую. К таким преобразованиям, в частности, относятся параллельный перенос и поворот осей координат. Этих преобразований достаточно для решения поставленных в этой лекции задач. Разберѐм далее, что происходит с уравнениями при том или ином преобразовании координат.

26.4. Параллельный перенос осей координат. Рассмотрим на плос-

кости прямоугольную декартову систему координат xO y . Выберем начало

системе O x y называется параллельным переносом осей координат.

187

Видим, что в новых координатах получилось каноническое уравнение эллипса с полуосями a 5 и b 5/ 2 с центром в начале координат O .

Рис. 26.3

Из формул (26.4) ясно, что точка O в исходной системе имеет координаты 1;2 . На рисунке 26.3 отражено построение, соответствующее такому преобразованию.

26.5. Преобразование поворота системы координат. Повернѐм ис-

ходную систему координат xO y вокруг начала координат на угол (положительным считается поворот против часовой стрелки) в положение

Ox y (рис. 26.4).

Рис. 26.4

Пусть точка M имеет в исходной системе координаты x; y и координаты в «новой» системе координат O x y . Чтобы установить связь между исходными и новыми координатами точки M , выполним до-

189

полнительные построения. Через A и B обозначим проекции точки M на координатные оси O x и O y , а через D и C — проекции еѐ на оси O x и O y (рис. 26.4). Из точки D опустим перпендикуляры на отрезок AM (основание перпендикуляра — точка F ) и ось O x (основание перпендикуляра – точка D ). Тогда из геометрических соображений получаем, что

x OA OD AD OD FD

OD cos MD sin x cos y sin ,

y AM AF FM DD MF

OD sin MD cos x sin y cos .

Таким образом, формулы, выражающие исходные координаты x; y

произвольной точки M через еѐ новые координаты при повороте осей на угол , имеют вид

x y .y x

Теперь, действительно, получилось каноническое уравнение

190