64 лекции по математике кн1

Рис. 26.8

Тогда получаем классификацию:

I. Эллиптический тип

1) x2 y2 1 (эллипс), a2 b2

3) x2 y2 1 (пустое множество). a2 b2

8)y2 0 (прямая),

9)y2 a2 (пустое множество).

193

Полученную классификацию можно использовать в любой задаче, связанной с уравнением второго порядка – даже если, например, в нѐм B 0 . Оказывается, по исходным коэффициентам уравнения (26.2), которые присутствуют в конкретной задаче, можно сразу определить, к какому

Итак, мы проделали необходимую работу, чтобы полностью разобраться с построением линий во всех ситуациях, к которым приводит уравнение второго порядка (26.2). Сначала определяем тип линии, задаваемой уравнением. Далее приводим его к каноническому виду, выполняя рассмотренные преобразования координат.

194

Лекция 27. Поверхности второго порядка

Переходим к изучению поверхностей в трехмерном пространстве. Будем рассматривать поверхности, задаваемые уравнениями, включающими

где коэффициенты A, B,C, D, E ,F ,G ,H ,K иL — любые действительные числа, но, по крайней мере, одно из чисел A, B или C отлично от нуля (т.е.

A2 B2 C2 0 ), называется общим уравнением поверхности второго

порядка.

Также как и для кривых второго порядка, для поверхностей второго порядка существует полная классификация. С помощью подходящего параллельного переноса и поворота осей координат (теперь уже выполняемых в пространстве) любое уравнение второго порядка может быть приведено к одному из семнадцати видов. Этим уравнениям в пространстве отвечают классические поверхности: эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, конус, эллиптический и гиперболический параболоиды, а также целая группа поверхностей, называемых цилиндрическими.

27.1. Цилиндрические поверхности. Поверхность, состоящая из па-

раллельных прямых (так называемых образующих), проходящих через каждую точку заданной линии L (направляющей), называется цилиндрической поверхностью. Образно можно представить, что цилиндрические поверхности образуются движением прямой, которая перемещается в пространстве вдоль кривой L , сохраняя постоянное направление (рис.

27.1).

В качестве направляющей цилиндрической поверхности рассмотрим расположенную в плоскости xOy линию L , которая задаѐтся уравнением

F (x, y) 0 . Пусть M0 (x0 , y0 ,0) – произвольная точка направляющей (рис. 27.1). Тогда F(x0 , y0 ) 0 . Если рассматривать цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны координатной оси Oz , то уравнение образующей, проходящей через точку M0 (x0 , y0 ,0) ,примет вид

Рассмотрим произвольную точку M (x0 , y0 , z0 ) этой образующей. Еѐ координаты удовлетворяют уравнению F (x, y) 0 при любом значении переменной z . Точка M0 (x0 , y0 ,0) выбиралась произвольно, поэтому можно

195

утверждать, что координаты всех точек цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению F (x, y) 0 .

Рис. 27.1

Ясно, что уравнение вида F (x, z) 0 задаѐт цилиндрическую поверх-

лельными оси O x .

Рис. 27.2

Если направляющей цилиндрической поверхности является кривая второго порядка, то поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка (или цилиндром второго порядка). В зависимости от конкретного вида уравнения получаются различные типы цилиндров второго порядка. Их названия соответствуют названиям направляющих линий L .

196

скую поверхность с образующими, параллельными оси Oz .Его направляющей является эллипс, а поверхность, задаваемая этим уравнением, называется эллиптическим цилиндром (рис. 27.2). Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр. Его уравнение в канони-

ский цилиндр (рис. 27.3).

Рис. 27.3

27.2. Поверхности вращения образуются вращением какой-либо плоской линии L (образующей) вокруг прямой (оси поверхности враще-

ния), расположенной в плоскости этой линии. Примером служит сфера: еѐ можно рассмотреть как поверхность, образованную вращением полуокружности вокруг еѐ диаметра. Покажем, как можно получить уравнение поверхности вращения, исходя из уравнения образующей (лежащей в одной из координатных плоскостей) и уравнения оси вращения (совпадающей с одной из координатных осей, расположенных в той же плоскости).

Будем вращать расположенный в плоскости yOz эллипс с уравнени-

ходящей через фиксированную точку O (0, 0, z) (рис. 27.4).

197

От этих примеров нетрудно перейти к алгоритму получения уравнения поверхности вращения по уравнению исходной кривой, если осью вращения служит одна из координатных осей. В уравнении кривой слагаемое с переменной, наименование которой совпадает с наименованием оси вращения, останется без изменения, а квадрат другой переменной заменяется на сумму квадратов этой переменной и переменной, отсутствовавшей в уравнении.

199

Лекция 28. Канонические уравнения поверхностей второго порядка

Теперь перейдем к другим поверхностям второго порядка, определяемым общим уравнением

Ax2 By2 Cz2 2Dxy 2Exz 2Fyz 2Gx 2Hy 2Kz L 0.

Каждая поверхность может быть построена по еѐ уравнению методом сечений. Проследим, как образуются поверхности второго порядка, проявляясь постепенно по мере стыковки разных сечений.

28.1. Эллипсоиды. Начнѐм с уравнения эллипсоида

Уравнение сечения этой поверхности координатной плоскостью xOz по-

виду уравнения мы узнаѐм эллипс и можем изобразить его в соответствующей плоскости (рис. 28.1).

Рис. 28.1

При x 0 из (28.1) получаем уравнение другого эллипса, располагающегося в плоскости yOz и имеющего те же точки пересечения с осью

плоскости xOy (рис. 28.2).

200