64 лекции по математике кн1
.pdfЛекция 24. Кривизна. Приближённое решение уравнений
24.1.Понятие кривизны. Одна и та же кривая в разных точках искривлена по-разному. Например, синусоида в точках пересечения с осью абсцисс почти прямая, а в вершинах дуг наиболее искривлена. Более того, на различных участках она искривлена в разном направлении. Нельзя ли как-то определить кривизну в данной точке кривой? Оказывается можно. Для этого определим сначала среднюю кривизну некоторого участка кривой.
Пусть при перемещении точки по кривой из положения M1 в положение M2 касательный вектор повернётся на угол Δα. Обозначим прой-
денное расстояние через |
s. Ясно, что Δα есть функция |
s (см. рис. |
||||
24.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Δα |
|
|
|
|
|
M2 |
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
M1 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 24.1 |
|
|
||
Отношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
Δα = k |
cp |
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
назовём средней кривизной участка кривой |
s. |
|
||||
Рассмотрим некоторые примеры. Перемещение точки вдоль прямой |
||||||
на расстояние |
s не |
меняет направления |
касательного |
вектора, т.е. |
Δα = 0. Таким образом, средняя кривизна любого участка прямой линии равна нулю, что не противоречит здравому смыслу.
Пусть теперь точка «прошла» некоторую дугу sокружности радиуса R . Поскольку длина дуги окружности с центральным углом Δα равна
s = RΔα, то средняя кривизна любой части окружности равна
171
k |
cp |
= Δα |
= Δα |
= 1 |
|
|
s |
R |
s |
R |
|
|
|
||||
|
|
|
Δα |
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
O |
Δα |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Рис. 24.2 |
|
|
Естественно теперь ввести понятие кривизны в данной точке как предел средней кривизны, когда длина участка s стремится к нулю
k = lim Δα = dα , s→0 s ds
т.е. кривизна равна производной угла поворота касательного вектора по длине кривой.
24.2. Вычисление кривизны плоской кривой. Для вывода формулы кривизны кривой y = f (x)продифференцируем по переменнойsравенство, выражающее геометрический смысл ее производной
α(s) = arctg y′x .
Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получим
|
|
|
|
|
dα |
|
ds |
= |
|
y′′ |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y′2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ds dx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dα |
|
|
y |
′′ |
|
|
|
|
Поскольку |
ds = |
1+ y′2 dx , то |
k = |
|
= |
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
ds |
(1+ y′2 ) |
3 |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Как показывает эта формула, для существования кривизны необходи- |
|||||||||||||||||||
мо, чтобы функция |
y = f (x) была дважды дифференцируема. Кроме того, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
172 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эта формула показывает, что кривая имеет положительную кривизну для выпуклых функций.
Пример. Найдем кривизну параболы y = x2
2
k = (1+ 4x2 )32 .
Из этой формулы видно, что при больших значениях x кривизна параболы близка к нулю, т.е. парабола «выпрямляется», а наибольшая кривизна будет в начале координат и равна 2.
24.3. Геометрический смысл кривизны. Назовем радиусом кривиз-
ны для кривой в заданной точке величину R = 1 . Используя формулу кри- k
визны k = 1 для окружности радиуса R , дадим следующую геометриче-
R
скую интерпретацию радиуса кривизны произвольной кривой. Пусть кривизна в данной точке равна k . Через эту точку проведем окружность той же кривизны с центром на нормали к кривой в этой точке. Радиус этой окружности R =1/ k и принимается за радиус кривизны кривой в этой точке.
На следующем рисунке приведён график функции y = cosx и соответствующая окружность. Кривизна в любой точке вычисляется по формуле
|
|
|
k(x) = |
−cos x |
3 |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(1+ sin2 x) |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
-0.8 |
-0.6 |
-0.4 |
-0.2 |
0 |
0.2 |
|
0.4 |
0.6 |
0.8 |
1 |
Рис. 24.3
В начале координат k(0) = −1. Кривизна отрицательна, так как кривая выпукла вверх. Радиус окружности кривизны R =1/ −1 =1. Центр окружности расположен в начале координат.
173
Свойство кривизны изменять своё значение вдоль кривой используется, например, при сопряжении прямолинейных участков железнодорожных путей с закруглениями. Допустим, что прямолинейный участок примыкает к участку, имеющему вид дуги окружности. Причем они в точке соединения имеют общую касательную, т. е. соединение гладкое. Но при движении поезда в этой точке мгновенно возникнет центробежная сила, создавая резкий толчок, что нежелательно. Поэтому такие участки соединяют с помощью некоторой переходной кривой. Вдоль неё кривизна постепенно нарастает от нулевого значения до величины обратной радиусу закругления. Аналогичная ситуация наблюдается при конструировании различного рода зубчатых зацеплений.
24.4. |
Приближённое решение уравнений. Задача точного решения |
уравнения |
f (x) = 0 для произвольной функции, как правило, неразреши- |
ма. Например, написав для уравнения x2 − 2 = 0 формулу для одного из его корней x1 = 2 , мы только указали математическую операцию, с помощью которой этот корень можно вычислить. Поэтому возникает необходимость приближённого вычисления корня данной функции. Обычно задают допустимую погрешность ε , с которой этот корень нужно вычислить. Это значит нужно найти такой промежуток [a,b], содержащий ко-
рень ξ |
( f (ξ) = 0), что его длина b − a < ε.Предполагается, что вычисле- |
ние значений функции f (x) проблемы не составляет. |
|
Рассмотрим несколько методов поиска корней на примере уравнения |
|
|
f (x) = x3 + x −1= 0. |
Функция |
f (x) всюду непрерывна. Вычислив f (0) = −1< 0 и f (1) =1> 0, |
убеждаемся, что в промежутке [ 0,1] есть, по крайней мере, один корень нашего уравнения. Покажем, что других корней в этом промежутке нет. Производная функции f ′(x) = 3x2 +1 > 0 положительна, поэтому график функции один раз пересечёт ось Ox, переходя от отрицательного значения к положительному значению. Иногда эту процедуру «отделения» корня
производят графически. Построим графики функций |
y = x3 |
и |
y |
2 |
=1− x . |
|
1 |
|
|
|
Абсцисса точки их пересечения и есть искомый корень (см. рис. 24.4). В нашем случае из рисунка видно, что корень расположен в промежутке 0,6 < ξ < 0,8, т. е. мы ещё сузили промежуток, где находится корень. Далее применим так называемый метод деления отрезка. Вычисляем значение функции в средине отрезка f (0,7) = 0,343− 0,300 = 0,043 > 0 и на одном
174
из его концов, например, f (0,6) = 0,36 0,6− 0,4 = −0,184 < 0. Следовательно, корень находится в промежутке 0,6 < ξ < 0,7, т. е. корень вычислен с точностью до 0,1. Ясно, что эту процедуру уточнения значения корня можно продолжить, но она требует слишком большого количества вычислений.
1.4 |
|
|
|
y=x3 |
|
|
|
1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=1-x |
|
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
-0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
0.8 |
1 |
1.2 |
1.4 |
Рис. 24.4
Познакомимся с методами, которые быстрее ведут к цели. Но для их применения нужна дополнительная информация о поведении функции в промежутке, на котором изолирован корень. Заметим, что вторая производная функции f ′′(x) = 6x > 0 положительна, следовательно, график функции в промежутке0,6 < x < 0,7 имеет вид (см. рис. 24.5)
B
хорда
f (b) = 0.043
a = 0.6
b = 0.7
f (x)
f (a) = −0.184
касательная
A
Рис. 24.5
175
Если провести хорду АВ, то точка a1 пересечения хорды с осью Ox даст очередное приближение к искомому корню слева. Приближение справа можно получить, найдя точку пересечения b1 касательной (проходящей через точку В ) с осью Ox. Запишем уравнение хорды АВ как уравнение прямой, проходящей через две точки
|
|
y − f (a) |
= |
x − a |
, |
|||
|
|
f (b) − f (a) |
|
|
||||
|
|
|
|
b − a |
||||
которое в данном случае примет вид |
|
|
|
|
|
|||
|
|
y + 0,184 |
= |
x − 0,6 |
. |
|||
|
|
|
|
|||||
0,227 |
|
0,1 |
|
|
Отсюда при y = 0 получаем a1 ≈ 0,681. Уравнение касательной в точке В имеет вид
y − f (b) = f ′(b)(x − b)
или
y − 0,043 = 2,47(x − 0,7).
Полагая y = 0, получаем b1 ≈ 0,683. Проверим, не «потеряли ли» мы ко-
рень, взяв приближенные значения a1 |
и b1 . Для этого подсчитаем значе- |
ния функции в этих приближённых значениях |
|
f (0,681) = −0,003…< 0, |
f (0,683) = 0,002…> 0. |
Значения функции на концах промежутка [0,681; 0,683] оказались разных знаков. Значит, мы вычислили корень с точностью ε = 0,002. Если же в качестве приближённого значения корня взять среднее арифметическое
ξ = (a1 + b1)/ 2 = 0,682, то корень будет вычислен с точностью ε = 0,001.
176
f ′ > 0 |
f ′ < 0 |
|
f ′′ > 0 |
||
f ′′ > 0 |
||
|
||
a |
b |
ba
f ′ < 0
f ′ > 0 f ′′ < 0 f ′′ < 0
a |
|
b |
|
|
|
|
b |
a |
|
|
Рис. 24.6
Эту процедуру уточнения корня методом хорд и касательных можно продолжить, однако с методом касательных нужно быть внимательнее. Построив касательную не в той точке промежутка, можно не приблизиться к корню, а удалиться от него (см. рис 24.6). На рисунке хорды проведены пунктирной линией. Анализ возможных ситуаций показывает, что касательную нужно проводить из той точки кривой y = f (x), в которой знак функции совпадает со знаком второй производной.
177