64 лекции по математике кн1

Необходимые условия позволяют выделить точки, «подозрительные» на экстремум. Далее для каждой из них следует выяснить, есть ли экстремум в данной точке и, если есть, то каков он. Для этого существует следующие условия.

Достаточные условия экстремума. Если при «переходе» слева направо через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке максимум, а если с минуса на плюс, то минимум. Для дважды дифференцируемой функции это эквивалентно тому, что, если в стационарной точке x0 вторая производная отрицательна f ′′(x0 ) < 0, то это точка максимума, а если вторая производная положительна f ′′(x0 ) > 0, то это точка минимума.

В самом деле, смена знака производной означает переход функции от возрастания к убыванию или наоборот, что соответствует экстремуму. Для дважды дифференцируемой функции смена знака производной, например, с плюса на минус при переходе через стационарную точку означает, что первая производная функции убывает в некоторой окрестности этой точки. Следовательно, производная от первой производной, т.е. вторая производная f ′′(x), должна быть отрицательной в этой окрестности, а значит и в самой точке, т.е. f ′′(x0 ) < 0 (см. рис.22.6).

161

Верно и обратное: если вторая производная отрицательна в точке x0 , то она, будучи непрерывной в этой точке, отрицательна в некоторой её окрестности. Значит, существует окрестность точки x0 , где её производная, переходя через ноль ( f ′(x0 ) = 0 ), меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в точке x0 функция f (x) имеет максимум. В тех случаях, когда вычисление второй производной проще, чем решение неравенства для первой производной, второе условие предпочтительнее.

Пример. Найти экстремумы функции y = f (x) = x3 − 3x +1. Функция определена на всей числовой прямой. Её производная

f ′(x) = 3(x2 −1) = 3(x +1)(x −1)

всюду существует, поэтому абсциссы точек подозрительных на экстремум это те значения переменной, при которых производная равна нулю, т. е. x = −1 и x =1. Отметим на следующей схеме знаки производной в соответствующих интервалах

−1 1

Рис. 22.7

Отсюда видно, что в интервале (−∞,−1) функция возрастает, а в интервале (−1,1)– убывает, следовательно, при x = −1 функция имеет максимум ymax = f (−1) = 3. Соответственно ymin = f (1) = −1. На основе этих данныхможно построить график этой функции (см. рис. 22.8). «Попутно» мы вы-

Рис. 22.8

Лекция 23. Исследование функций и построение их графиков

(продолжение)

23.1. Выпуклость. Понятие выпуклости – одно из важнейших понятий всей математики. Мы ограничимся применением этого понятия к исследованию выпуклости графика функции. Обратимся к рисунку.

y

f2 (x)

Пусть в промежутке (a,b) заданы две дифференцируемые функции. Их графики – это непрерывные кривые, имеющие в каждой точке касательную. Обе функции возрастают в этом промежутке. Но график одной из них обращен «горбом» вниз, а у другой – в противоположную сторону. Это свойство кривой называют выпуклостью. Как описать это свойство в математических терминах?

В математике есть понятие выпуклой функции, применяемое к более широкому классу функций, чем класс дифференцируемых функций. Мы определим это понятие именно для дифференцируемых функций. Будем называть функцию y = f (x)выпуклой (вниз) в промежутке (a,b), если её график лежит выше касательной в любой точке из этого промежутка (см. рис.23.2).

В противном случае функцию называют вогнутой (выпуклой вверх). Аналитически это свойство выразится следующим неравенством

f (x) ≥ f ′(x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) ,

правая часть которого представляет собой значение ординаты касательной.

163

ξη

Рис. 23.3

164

Если же точка x расположена правее точки x0 (рис. 23.4), то картина будет следующей:

ηξ

R(x) = f ′′(η)(ξ − x0 )(x − x0 ) определяется только знаком второй производной, откуда и следует доказываемое утверждение.

Поэтому график этой функции обращён выпуклостью вниз при отрицательных значениях аргумента и выпуклостью вверх при его положительных значениях.

Рис. 23.5

23.2. Точки перегиба. Точки графика функции, в которых направление выпуклости меняется на противоположное, называют точками перегиба. Например, у синусоиды это точки пересечения её графика с осью абсцисс. Необходимым условием существования точки перегиба графика дважды дифференцируемой функции является равенство нулю её второй производной в некоторой точке, а достаточным – перемена знака второй

165

производной при «переходе» через эту точку. Найдем, например, точки перегиба кривой

Следовательно, точками перегиба могут быть только точки

При переходе через каждую из них вторая производная меняет знак, значит эти точки – точки перегиба (см. рис. 22.2).

При построении графиков полезно вычислить значение первой производной в точке перегиба, дающее направление касательной, относительно которой происходит перегиб. В нашем примере y′(P1,2 ) ≈ ±0,65.Кроме

того заметим, что в точках перегиба вторая производная может и не существовать, что видно на графике следующей функции

0.5

Рис. 23.6

23.3. Асимптоты. Иногда кривая, имеющая бесконечную ветвь, при удалении её точек в бесконечность «как бы выпрямляется» и приближается к некоторой прямой. Эту прямую называют асимптотой кривой (греч.

166

asymptotos – несливающаяся). Если авторы этого термина подчеркивали то, что кривая не сливается с прямой, то мы обращаем внимание на то, что расстояние точки кривой (x, f (x)) до прямой – асимптоты стремится к нулю при движении точки вдоль кривой к бесконечности. Пример кривой, имеющей асимптоты, даёт график функции y = 1x

Рис. 23.7

Рассмотрим одну из ветвей этой кривой. Когда точка M(x, y) стремится к бесконечности, то расстояние её до оси Oy , равное d = x, стремится к нулю. Значит прямая x = 0– вертикальная асимптота. Если N(x, y) → ∞, то d = y → 0. Следовательно, прямая y = 0–горизонтальная асимптота. Как найти вертикальные асимптоты кривой, заданной уравнением y = f (x)?Необходимым условием для этого является существование точек разрыва функции. Достаточным условием будет одно из сле-

дующих:

lim f (x) = ±∞ ,

x→x0 ±0

где x0 точка разрыва.

Горизонтальные асимптоты кривых, определённых в бесконечном промежутке, определяются существованием конечных пределов:

Для того чтобы произведение двух сомножителей, один из которых стремится к бесконечности, стремилось к нулю, необходимо стремление к нулю второго сомножителя, откуда имеем

При найденном k из (23.1) получим

b = lim [ f (x) − k x].(23.3)

x→+∞

Если при x → −∞также существует наклонная асимптота, то ее параметры находятся по аналогичным формулам с заменой x → + ∞ на x → −∞ . Если один из пределов не существует или равен ∞ , то соответствующей асимптоты нет. Например, функция y = x2 не имеет асимптот. Или другой пример: для функции y = x + ln x имеем

168

169

23.4.Примерный план исследования функции. Приведём краткий перечень вопросов, на которые нужно ответить при исследовании функции.

1.Область определения. Чётность, нечётность, периодичность. Исследование в окрестности точек разрыва (возможны вертикальные асимптоты). Точки пересечения с осями, поведение на бесконечности (возможны горизонтальные асимптоты).

2.Экстремумы. Интервалы возрастания и убывания (различать «гладкие» экстремумы и «остриё» или излом).

3.Точки перегиба, интервалы выпуклости (полезно вычислить производную в точке перегиба)

4.Наклонные асимптоты.

Заметим, что перечисленный порядок вопросов совсем не обязатель-

ный.

170