3.3 Оценка точности функций измеренных величин

На этот раздел следует обратить особое внимание и учесть программу определения средней квадратической погрешности функции, вычисляемой по аргументам, которые измеряются с погрешностями.

Функция задана в общем виде:

у = f (х₆, х₂, . . . , х_n ), где х_i - аргументы, средние квадратические погрешности которых известны, т. е. заданы m_i ).

СКП функции находится по формуле:

m²_y = (y /  x₁ )² m²₁ + (y / x₂)² m²₂ + . . . + (y / x_n )² m²_n,

где y /  x_i - частные производные функции по каждому аргументу в отдельности.

Порядок вычисления СКП функции общего вида должен быть следующий:

- записывается функция в явном буквенном выражении, например V = R²·Н (объем цилиндра). В данном случае объем является функцией двух аргументов - радиуса и высоты,  - постоянная;

- выписывается формула СКП для функции в общем виде:

m²_V = (V / R )²m²_R + (V / H)²m²_H,

учитывая, что производная по постоянному равна нулю

( V /  = 0);

- отдельно берутся частные производные, входящие в формулу СКП:

V / R = 2 RH; V / H = R²;

- выражения частных производных подставляется в формулу СКП:

m²_V = (2 RH)²m²_R + (R²)²m²_H;

- в соответствии с условием задачи в полученную формулу подставляются числовые значения постоянных, аргументов и их средних квадратических погрешностей. Находят величину m = m².

Решение примеров

Пример 3

Найти СКП превышения, полученного на одной станции геометрического нивелирования по черным сторонам реек, если СКП отсчета по рейке m₀ равна 1 мм.

Решение: превышение вычисляется по формуле h = a - b,

где а и b - отсчеты соответственно по задней и передней рейкам.

В этой формуле превышение h является функцией отсчетов а и b. Так как эта функция такого же типа, как функция u =  х₁ ± х₂ ± . . . ± х_n + с, с равноточными аргументами, для которой СКП определяется по формуле m_u = mn, то для рассматриваемой функции будет:

m_h = m_о 2.

В результате получим

m _h = 1 2 = 1,4 мм.

Пример 4

Линия теодолитного хода измерена частями со средними квадратическими погрешностями m₁ = 0,01 см, m₂ = 0,02 см, m₃ = 0,03 см. Определить СКП всей длины линии.

Выписываем функцию в явном виде:

D = D₁ + D₂ + D₃.

Формула СКП примет вид: m²_D = m²₁ + m²₂ + m²₃

Подстановка числовых значений даст окончательный результат:

m²_D = (0.01)² + (0.02)² + (0.03)² = 0,0014,

_____

m_D = 0.0014 = 0,037  0,04 см.

Пример 5

Определить СКП превышения, полученного на станции геометрического нивелирования по черным и красным сторонам реек, если СКП отсчета по рейке m₀= 1 мм.

Превышение по черным сторонам реек равно h_ч =а_ч - b_ч, превышение по красным сторонам реек равно h_к = а_к - b_k. Окончательно функция примет вид:

h_ср = (h_ч - h_к) / 2 или h_ср = ( а_ч - b_ч) / 2 + (а _к - b _к) / 2

для определения СКП функцию удобно иметь в виде:

h_ср = 1/2 а_ч - 1/2в_ч + 1/2а_к - 1/2b_к

В учебном пособии [1] такой функции аналогичен вид функции:

Формула СКП примет вид:

m²_{h ср} = 1/4 m²_о + 1/4 m²_о + 1/4 m²_о + 1/4 m²_о,

так как при равноточных измерениях m_{a ч}= m_{b ч} = m_{a k} = m_{b k} = m_о, то подставляя значение m_о = 1 мм, получим:

m²_h = 1 мм, m_h = 1 мм.

Пример 6

Вычислить СКП приращения  х = Scos , если S = 489.98 м; m_s = 0.11 м;  = 14430.0; m_ = 1.0.

Решение: Так как функция х = Scos  нелинейная, то для вычисления ее СКП применяем формулу с частными производными:

m²_{ x} = ( x / S )² m²_s + ( x /  )² m_² / ² ,

В этой формуле m_ в радианной мере выражена через m_ / , где m_ - в градусной мере, а  - градусная величина радиана, равная 3438.

Найдем выражение для частных производных:

 /  S = cos ,  /  = - S sin 

и подставим их в предыдущее равенство:

m²_ = (cos  m_s )² + ( - S sin  (m_ / ) ) ²

Заменив буквы соответствующими числами, получим:

m²_= (cos 144300.11)² + ( - 490 sin 14430(1.0/3400)) ² = 0.0080 + 0.0070 = 0.0150

Отсюда:

m_ = 0,12 м

Контрольная задача 3

При тригонометрическом нивелировании были получены величины: расстояние, измеренное нитяным дальномером D = 210.5  0.8 м; угол наклона визирной оси при наведении на верх рейки  = ...0,5'; высота прибора i = 1,30 ± 0,008 м, высота рейки V = 3,00 ± 0,015 м.

Вычислить превышение и его предельную погрешность.

Указание: функция для оценки точности имеет вид

h = 1/2 Dsin2 + i - V

Контрольная задача 4

При определении расстояния АВ, недоступного для измерения лентой, в треугольнике АВС были измерены:

базис АС = 84,55 ± 0,11 м, углы А = 5б°27' и С= 35°14' с СКП равной m _ = 1'.

Вычислить длину стороны АВ и ее СКП.

Указание: для решения задачи применить теорему синусов.

Контрольная задача 5

Определить СКП расстояния, вычисленного по формуле:

____________________

S =  (Х₂ - Х₁ )² ­+ (У₂ - У₁ )²

если X₂ = 6 068 740 м; Y₂=431 295 м;

X_­1 = 6 068 500 м; Y₁ = 431 248 м.

m_х = m _у = 0,1 м.