Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Курс лекций по ТМО_ Абузова Ф[1].Ф

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

3.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Зависимость охлаждения (нагревания) от формы и размеров тела

Отношение площади поверхности тела (F) к объему (V) характеризу-

ет скорость охлаждения. Для пластины, цилиндра и шара оно равно соот-

ветственно 1: 2 : 3 . С возрастанием отношения FV возрастает скорость

охлаждения.

Θ	1
				1
	0,5
			3	2
			3
	0					Fo
	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5

Рис. 4.5. Скорость охлаждения в центре для различных тел с одинаковым характерным размером lo (lo =δ для пластины, lo =r для цилиндра, шара),

Bi →∞

Таблица 1

Задачи нестационарной теплопроводности

Задача

Уравнение или

Решение

Сокращённая

Примечание

расчётная формула

запись

1. Охлаждение (нагревание) неограниченной пластины

∞

2 sin µn

Θ = ∑

cos(µn Χ) exp(−µn2 Fo) ;

1.1. Распределе-

∂ϑ

= a

∂2

n=1

µn +sin µn cos µn

ΘΧ=0 =N(Bi) exp(−µn2 Fo)

Имеются графики [1,

ние температуры

ctg µn =

∂τ

∂x

ΘΧ=1 =P(Bi) exp(−µn

Fo)

При Fo ≥0,3

µn =µ1

∞

= ∑

2 sin

µn

exp(−µn2 Fo) .

+µn sin µn cos µn

n=1

µn

1.2. Количество

При Bi →∞ ( Bi >100 )

∞

теплоты, отдан-

n −1

Q =Q

1−Θ

Θ =

exp

−

∑

(

)

Θ =M(Bi) exp(−µn Fo)

ное в процессе

(

)

n=1 π 2 n −1

охлаждения

При Bi →0 ( Bi <0,1)

Θ =exp(Bi Fo) . При Fo ≥0,3 µn =µ1

2. Охлаждение (нагревание) бесконечно длинного цилиндра

2.1. Распределе-	∂ϑ		2	ϑ
2.1. Распределе-	∂ϑ		∂	ϑ	1 ∂ϑ
		=a		2 +

ние температуры	∂τ		∂r
	∂τ		∂r		r	∂r

∞

2 J1(µn )

= ∑

J0 (µn R) exp(−µn2 Fo) ;

2 2

n=1 µ

J (µ ) +J (µ )

J0 (µn )

µn

J1(µn )

При Fo ≥0,25

µn =µ1 .

При Bi →∞ ( Bi >100 )

∞

= ∑

J0 (µn R) exp(−µn2 Fo) .

J (µ

)

n=1

При Bi →0 ( Bi <0,1) µn =µ1

=J (µ

R) exp(−µ2

Fo) .

Θ =F(R, Bi, Fo)

При Fo ≥0,25		µn =µ1
Θ	=N (Bi) exp(−µ2		Fo)
R=0	0	1
Θ	=P (Bi) exp(−µ2		Fo)
R=1	0	1

Имеются графики [1, 2]

J0 (µn ) – функция Бесселя нулевого порядка I рода;

J1 (µn ) – функция Бесселя первого порядка I рода.

Продолжение табл. 1

(

)

2.2. Количество

Q =Q

1−

∞

4 Bi2

Θ = ∑ 2

Fo)

теплоты, отдан-

exp(−µn

µn +Bi

∫

Θ R dR

n=1 µn

ное в процессе

охлаждения

При Fo

≥0,25 µn =µ1 .

Qп = π ro2 l ρ c (to −tж )

3. Охлаждение (нагревание) шара

∞

(sin µn −µn co s µn ) sin(µn

Θ = ∑

exp(−µn

Fo)

(µn −sin µn cos µn ) µn R

n=1

tg µn

=−

µn

Bi −1

При Fo ≥0,25 µn =µ1

Θ =F(R, Bi, Fo)

∂ϑ

∂2 ϑ

∂ϑ

При Bi →∞

( Bi >100 )

3.1. Распределе-

ние температуры

= a

ΘR=0 =F1(Bi, Fo)

Имеются графики [1]

∞

n+1

∂τ

∂r

(−1)

sin(n π R)

∂r

Θ = ∑

exp

−(n π) Fo

ΘR=1 =F2 (Bi, Fo)

n π R

n=1

При Bi →0 ( Bi <0,1)

µ2

=3 Bi

Θ =

sin(

3 Bi R)

exp −3 Bi Fo

]

3 Bi R

[

3.2. Количество

∞

(sin µn −µn co s µn )2

теплоты, отдан-

ρ c (to −tж )

Qп =

π ro

= ∑

ное в процессе

Qï

µn

−sin µn cos µn

1−exp(−µn

Fo)

n=1

µn

охлаждения

Охлаждение (нагревание) тел конечных размеров

4. Охлаждение параллелепипеда

4.1. Температура

Θ = f (x,y,z,τ)

Θ =

t(x,τ) −tж

t(y,τ) −tж

t(z,τ) −tж

Θ =Fx (X, Bix , Fox )×

× Fy (Y, Biy , Foy )×Fz (Z, Biz , Foz )

в точке

Θ =Θx Θy Θz

to −tж

= f (τ)

t(τ)y −tж

x (Bix , Fox )×

y (Biy , Foy )×

4.2. Средняя

Θ =

t(τ) −tж

t(τ)x

−tж

t(τ)z −t

температура

to −tж

Θ =Θx Θy Θz

× Fz (Biz , Foz )

Продолжение табл. 1

5. Охлаждение цилиндра конечной длины

5.1. Температура

Θ = f (z,r,τ)

Θ =

t(z,τ) −tж

t(r,τ) −tж

Θ =Fz (Z, Biz , Foz )×

в точке

Θ =Θz Θr

to −tж

× Fr (R, Bir , For )

5.2. Средняя

Θ =

t(τ)z −tж

Θ = f (τ)

Θ =Fz (Bi , Fo )×Fr (Bi , Fo )

температура

to −tж

z z

6. Охлаждение (нагревание) полуограниченного твёрдого тела

6.1. Распределе-

∂ϑ

∂2 ϑ

tï

−t

z =

. Имеют-

∫0

= a

= erf z ;

erf z =

exp(−z

) dz

a τ

ние температуры

∂τ

∂x2

ϑo

−tî

tï

ся таблицы erf z [3]

Лекция 5

Регулярный режим охлаждения (нагревания) тела

Для различных геометрических форм решения имеют одинаковую структуру – это сумма бесконечного ряда, члены которого идут по быстро

убывающей экспоненте ( tж = const , α = const ).

					∞
				ϑ = ∑An Fn exp(−µn2 Fo) ,			(5.1)
					i=1
где An	=		2 sin µn		–	не зависит ни от времени, ни от координат;
где An	=				–	не зависит ни от времени, ни от координат;
		µn	+sin µn cos µn

Fn =cos(µn Χ) – зависит от координат.

Специфика формы определяется Аn, Fn. Для одной и той же формы

влияние начального распределения температуры будет определяться со-

вокупностью Аn, Fn – количеством членов ряда.

Если взять время от τ =0 до τ = τ1 , то берётся сумма ряда (первая

стадия).
Если от τ = τ1 до τ →∞, достаточно 1-го члена (Fo ≥0,3 ).
		ϑ = A		F exp(−µ2		Fo) = A	F exp(−m τ) ,			(5.2)
		1	1	1	1	1	1
	µ2 a						1
где m =	1	– темп регулярного режима,					[m]=		.
где m =	δ2	– темп регулярного режима,					[m]=	c	.
Прологарифмировав (5.2), получаем
					ln ϑ1 =ln(A1 F1) −m τ .					(5.3)

Рис. 5.1. Регулярный режим охлаждения тела

∙1-я стадия (от τ =0 до τ = τ1 ) – неупорядоченная – распределение тем-

пературы в теле зависит от начального распределения.

∙2-я стадия (от τ = τ1 и дальше) – упорядоченная – Fo ≥0,3 , регулярный режим охлаждения.

Продифференцируем (5.3):


	1	∂ϑ =0 −m ∂τ ;					(5.4)

	ϑ1
1
		m =−		1 ∂ϑ1
					∂τ .		(5.5)
				ϑ
1
Из (5.5) следует, что физический смысл m – относительная ско-
рость охлаждения (изменение избыточной температуры во времени).
По аналогии с (5.3) можно записать:
ln ϑ1 =C −m τ1 ,							(5.6)
ln ϑ2 =C −m τ2 .							(5.7)
Из (5.6) и (5.7) получаем
m =			ln ϑ1 −ln ϑ2			.	(5.8)

			τ2 −τ1

При регулярном режиме распределение температуры во времени не зависит от начального распределения температур в теле.

∙ 3-я стадия – равновесие с окружающей средой.

Формула (5.8) – темп охлаждения при регулярном режиме – исполь-

зуется для определения теплофизических параметров веществ – это экс-

периментальный способ.

1.4. Конвективный теплообмен (КТО) в однофазной среде

КТО – процесс переноса теплоты в среде с неоднородным распреде-

лением скорости и температуры, осуществляемый макро- и микроскопиче-

скими элементами среды при их перемещении.

Основная задача КТО – количественное определение α.

q =α (tc −tж );

(5.9)

	Q = α F (tc −tж );	(5.10)
	dQ =αлок (tc −tж ) dF .	(5.11)
	В (5.10) – среднее значение α, а в (5.11) – локальное.
	Коэффициент теплоотдачи α зависит:
∙	от природы возникновения;
∙	теплофизических параметров;
∙ режима движения и пограничного слоя;
∙	направления теплового потока;
∙ формы и размеров теплоотдающей поверхности.

Течение жидкости вдоль всякого тела состоит из основного потока и

пограничного слоя.

Рис. 5.2. Течение жидкости вдоль тела (δп δг ):

1 – ламинарный режим, 2 – переходный режим, 3 – турбулентный режим, δг – толщина гидравлического пограничного слоя, δп – толщина ламинарного подслоя

Толщину ламинарного подслоя можно определить:


δ		30 ν		,	(5.12)
δ	п			,	(5.12)
	п	wж	λгидр
		wж	λгидр

где λгидр – коэффициент гидравлического сопротивления.

Слой вблизи поверхности тела, в котором идет изменение скорости

жидкости от значений скорости невозмущенного потока (вдали от стенки)

до нуля (непосредственно на стенке), называется гидродинамическим

пограничным слоем.

Рис. 5.3. Тепловой пограничный слой (здесь tж > tc )

Система дифференциальных уравнений КТО

∙ Дифференциальное уравнение теплоотдачи или теплообмена

Следует учесть, что q =α (tс −tж ) – это гипотеза, она не всегда вы-

полняется.

Перенос теплоты в ламинарном подслое идет за счёт теплопровод-

ности:

		∂t
	q =−λ
	q =−λ			,	(5.13)

			∂n n=0
С другой стороны – процесс теплоотдачи:
	q =α (tc −tж ).				(5.14)
Приравнивая правые части (5.13) и (5.14), получаем дифференци-
альное уравнение теплоотдачи или теплообмена:
∂t
−λ		=α (tc −tж ).			(5.15)
−λ		=α (tc −tж ).			(5.15)

	∂n n=0

∙Дифференциальное уравнение закона сохранения массы (нераз- рывности, сплошности)

∂ρ	+	∂(ρ wx )	+	∂(ρ wy )	+	∂(ρ wz )	=0 .	(5.16)
∂τ		∂x		∂y		∂z

Если жидкость несжимаемая (условие несжимаемости w ≤0,3 a , где

a – местная скорость звука), то ρ =idem, тогда:

∂w	x +	∂wy	+	∂w	z =0 .	(5.17)

		∂y
∂x				∂z

Уравнение не допускает пузырьков газа с жидкостью (нельзя исполь-

зовать для конденсации, кипения).

∙ Уравнение закона сохранения энергии (Фурье- Кирхгофа)

dt		2	t		2	t		2	t
dt		∂	t		∂	t		∂	t
	= a			+			+			.	(5.18)
	= a		2	+		2	+		2	.	(5.18)
dτ		∂x			∂y			∂z
dτ		∂x			∂y			∂z

∂t

(5.19)

∂τ

dτ

∂x

∂y

∂z

локальное

конвективное

изменение

Если проекции скорости равны нулю ( wx = wy = wz =0 )

и нет внут-

ренних источников теплоты (qv =0 ), то получаем уравнение теплопровод-

ности (1.39):

∂t	= a 2t .	(5.20)

∂τ

∙ Уравнение движения (Навье-Стокса)

Дифференциальное уравнение движения может быть записано в ви-

де баланса сил, работ, ускорений. В виде баланса ускорений оно имеет

следующий вид:

dwx

∂p

+ν

∂

= g

−

(5.21)

dτ

ρ ∂x

∂x

∂y

∂z

где dwx – полное ускорение по оси x; dτ

gx – проекция ускорения силы тяжести на ось x;

1∂p

−∂x – ускорение, соответствующее изменению давления потока

жидкости (возникает в связи с получением потенциальной работы);

ν∂2 wx

∂x2

+∂2 wx ∂y2

dwx

dτ

+∂2 wx – ускорение из-за сил трения.

∂z2

=	∂wx +w			∂wx +w			∂wx +w			∂wx ,	(5.22)
	∂τ	x		∂x	x		∂y	x		∂z

где	∂wx		– локальное ускорение по оси x;
	∂τ
	w		∂wx +w		∂wx +w		∂wx – ускорение вследствие неоднородно-
		x	∂x	x	∂y	x	∂z

сти поля скоростей.

Уравнения типа (5.21) и (5.22) записываются по всем осям.

Эти уравнения решаются с условиями однозначности.

Система уравнений нелинейная, трёхмерная и получить аналитиче-

ское решение почти невозможно. Принимают допущения, получают при-

близительное решение, результат проверяют на экспериментах. Если ре-

шение неадекватно описывает процесс, используют теорию подобия или анализ размерностей.

Теория подобия

Подобие может быть распространено на любые физические явления.

Физическое подобие наряду с постоянством соотношения длин,

включает такое же постоянство соотношений между другими параметрами процесса, существенными для этого процесса.

Теория подобия позволяет:

∙объединять размерные величины в безразмерные комплексы – это обобщённые переменные;

∙сокращать число переменных под знаком функции;

∙устанавливать условия переноса результатов лабораторных экспери-

ментов на другие объекты.

Таким образом, теория подобия позволяет из анализа дифференци-

альных уравнений и условий однозначности сделать ряд выводов, не при-

бегая к интегрированию. Она дает теоретическую базу для постановки опытов и обработки экспериментальных данных, лежит в основе модели-

рования и широко используется в технике.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.11.20182.59 Mб7Курс ек.теорії_підручник.doc
#
17.03.20158.35 Mб266КУРС ЛЕКЦИИ ГИПС мой.doc
#
17.03.20151.05 Mб545Курс лекций Датчики ГТИ(разрез).doc
#
17.03.2015507.39 Кб2683Курс лекций ОБТС.doc
#
22.11.20187.3 Mб128Курс лекций по ТМО - 06.06.08.doc
#
17.03.20153.1 Mб48Курс лекций по ТМО_ Абузова Ф[1].Ф..pdf
#
23.11.20191.23 Mб13Курс лекций. Ч2..doc
#
09.11.2019546.3 Кб5Курс макроэкономики.doc
#
23.08.2019272.9 Кб6курс_st_ТЕЛЕ.doc
#
21.07.2019283.14 Кб7курсач Гидромашины.doc
#
17.09.2019547.54 Кб25курсач МОНГ.docx