Раздел 2.

ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Газовые законы, законы термодинамики, основные газовые процессы.

Закон Бойля-Мариотта, связывающий изменения объема газа при постоянной температуре с изменениями его упругости. Этот закон, открытый в 1660 г. англ. физиком Бойлем и позже, но, независимо от него, Мариоттом во Франции, по своей простоте и определенности занимает весьма важное место в науке, хотя позднейшие исследования показали существование отступлений от него и что закон относится собственно к так называемому идеальному газу.

Бойля — Мариотта закон, один из основных газовых законов, согласно которому при постоянной температуре объём V данной массы идеального газа обратно пропорционален его давлению р, т. е.

pV = C = const (7.1)

(рис. 7.1). Постоянная С пропорциональна массе газа (числу молей) и его абсолютной температуре.   Б.—М. з. следует из кинетической теории газов, если принять, что размеры молекул пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними и отсутствует межмолекулярное взаимодействие. Иными словами, Б.—М. з. выполняется строго для идеального газа. Для реальных газов, у которых влиянием размеров молекул и их взаимодействием пренебрегать нельзя, Б.—М. з. выполняется приближённо (рис. 7.2), тем лучше, чем дальше от критического состояния находится газ.

Рис. 7.1 Зависимость объёма V неизменной массы идеального газа от давления р при постоянной температуре Т. Изотермы T1, T2, T3 имеют вид равносторонних гипербол, площади А1 и A2 равны постоянной С.

Рис. 7.2. Отклонение поведения реальных газов от закона Бойля — Мариотта. Пунктир соответствует линии pV=C.

Закон Гей-Люссака — закон пропорциональной зависимости объёма газа от абсолютной температуры при постоянном давлении, названный в честь французского физика и химика Жозефа Луи Гей-Люссака, впервые опубликовавшего его в 1802 году.

Следует отметить, что в англоязычной литературе закон Гей-Люссака обычно называют законом Шарля и наоборот. Кроме того, законом Гей-Люссака называют также химический закон объёмных отношений.

Изобарический закон, открытый Гей-Люссаком в 1802 году утверждает, что при постоянном давлении объём постоянной массы газа пропорционален абсолютной температуре. Математически закон выражается следующим образом:

(7.2)

или

(7.3)

где V — объём газа, T — температура.

Если известно состояние газа при неизменном давлении и двух разных температурах, закон может быть записан в следующей форме:

(7.4)

или 

. (7.5)

закон Шарля (второй закон Гей-Люссака, 1808 г.):

(7.6)

Основное уравнение термодинамики

     Согласно второму началу термодинамики, элементарное количество теплоты связано с изменением энтропии системы следующим неравенством     

.

(7.7)

     Совместно с первым началом термодинамики

     

,

(7.8)

     выражение (7.8) дает основное неравенство термодинамики в виде:

     

.

(7.9)

     В этом выражении знак равенства соответствует равновесным термодинамическим процессам, а знак неравенства - неравновесным.

     Для анализа равновесных процессов выражение (7.9) может быть записано в виде уравнения

     

,

(7.10)

     которое носит название основного уравнения термодинамики равновесных (обратимых) процессов. Уравнение (7.10) позволяет проводить расчет любых равновесных термодинамических процессов.

     Рассмотрим применение этого уравнения для определения соотношения между уравнением состояния и выражением для внутренней энергии термодинамической системы. Преобразуем выражение (7.10) к следующему виду:

     

.

(7.11)

     Здесь учтено, что внутренняя энергия является функцией состояния, и поэтому она имеет полный дифференциал:

     

.

(7.12)

     С другой стороны, так как энтропия тоже является функцией состояния, для ее полного дифференциала можно записать выражение:

     

.

(7.13)

     Сопоставление формул (7.11) и (7.13) дает

     

,

(7.14)

     

.

(7.15)

     Далее, учитывая то, что

     

(7.16)

     и дифференцируя по выражение (7.14) и по выражение (7.15), имеем:

     

.

(7.17)

     Использование равенства

     

(7.18)

     позволяет получить окончательное выражение для дифференциального уравнения, связывающего уравнение состояния и внутреннюю энергию термодинамической системы

     

.

(7.19)

     Рассмотрим применение этого уравнения для определения внутренней энергии идеального газа, для которого уравнение состояния имеет вид

     

.

(7.20)

     Подстановка формулы (7.20) в уравнение (7.19) дает

     

.

(7.21)

     Таким образом, внутренняя энергия идеального газа не зависит от его объема, а является функцией только его температуры:

     

.

(7.22)

     Так как внутренняя энергия идеального газа пропорциональна количеству вещества , а его молярная теплоемкость не зависит от температуры, то с точностью до произвольной постоянной имеем

     

.

(7.23)

     Подстановка полученного выражения для внутренней энергии идеального газа и его уравнения состояния в основное уравнение термодинамики равновесных процессов, записанного в виде (7.), дает

     

.

(7.24)

     Интегрирование этого уравнения позволяет определить зависимость энтропии идеального газа от его объема и температуры :

     

,

(7.25)

     где: , и - константы, имеющие размерности температуры, объема и энтропии соответственно.

     Выражение (7.25) полностью совпадает с формулой. Оно позволяет рассчитывать энтропию идеального газа при достаточно высоких температурах.

     Задача. Определить выражение для внутренней энергии и энтропию одного моля газа Ван-дер-Ваальса, уравнение состояния которого имеет вид:

     Решение: Подставляя уравнение состояния газа Ван-дер-Ваальса в формулу (7.23) имеем

     

.

     Интегрирование этого выражения дает

     

,

     где - функция температуры. С учетом того, что при выражение для внутренней энергии газа Ван-дер-Ваальса должно совпадать с формулой (7.23), имеем выражение для внутренней энергии одного моля газа Ван-дер-Ваальса

     

.

     Для определения энтропии одного моля газа Ван-дер-Ваальса подставим его уравнение состояния и выражение для внутренней энергии в формулу (7.11)

     

,

     или

     

.

     Интегрирование этого уравнения позволяет найти выражение для энтропии одного моля газа Ван-дер-Ваальса:

     

.

     Из этой формулы следует, что в соответствии с третьим началом термодинамики, уравнение Ван-дер-Ваальса не применимо при , так как при расчете энтропии по полученной формуле имеем: .

     

Уравнение Клапейрона — Менделеева

Уравнение состояния идеального газа (иногда уравнение Клапейрона или уравнение Клапейрона — Менделеева) — формула, устанавливающая зависимость между давлением, молярным объёмом и абсолютной температурой идеального газа. Уравнение имеет вид:

(7.26)

Где

—давление,

—молярный объём,

—универсальная газовая постоянная

—абсолютная температура,К

Так как ,

где  — количество вещества, а , где  — масса,  — молярная масса, уравнение состояния можно записать:

Эта форма записи носит имя уравнения (закона) Менделеева — Клапейрона.

В случае постоянной массы газа уравнение можно записать в виде: