Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Пусть поток реальной жидкости, обладающей вязкостью, дви­жется в русле, ограниченном неподвижными стенками. При этом возникает трение, что приводит к существенной неравномерности распределения скоростей по сечению потока (рис. 3.5), а также к потерям энергии при перемещении жидкости от одного сечения к другому.

Получим уравнение Бернулли для потока реальной жидкости, основываясь на том, что оно является законом сохранения энер­гии для движущейся жидкости. Вывод этого уравнения проведем в два этапа. На первом этапе учтем неравномерность распределения скоростей по сечению потока, а на втором учтем и потери энер­гии.

При выводе будем считать, что в пределах выбранных сечений

гидростатический напор остается постоянным:

Z + = const. (3.7)

Рис. 3.5. Схема потока реальной жидкости

Это справедливо для сечений с параллельно струйным течени­ем жидкости, т.е. когда эти сечения являются плоскими. Поэтому уравнение которое будет получено ниже, может использоваться для плоских или близких к ним сечений.

На первом этапе определим формулу для вычисления мощности N потока реальной жидкости в его сечении. Вычисление этого параметра затруднено тем, что из-за перераспределения скоростей (см. рис. 3.5) разные слои жидкости несут различное количе­ство энергии. Для определения мощности N в сечении (например, в сечении 1— 1 на рис. 3.5) выберем струйку жидкости бесконечно милой поперечной площади dS, в пределах которой скорость жид­кости будем считать постоянной, равной v. Тогда полный напор (или полная удельная энергия) в сечении струйки

H=Z+ (3.8)

Мощность струйки dN в сечении площадью dS равна произведению удельной энергии Н и веса жидкости, которую проносит поток через это сечение в единицу времени, т.е. элементарного носового расхода dQ_G. Тогда с учетом (3.6) и (3.1) получим мате­матическую зависимость для мощности струйки

dN=GdQg=( Z+)pgdQ (3.9)

Мощность всего потока в сечении найдем, просуммировав мощ­ности всех элементарных струек, т.е. вычислив интеграл по пло­щади S от выражения (3.9):

После математических преобразований зависимость для мощности потока реальной жидкости принимает следующий вид:

N=pg(z+)Q (3.10)

где α — безразмерный коэффициент, определяемый по формуле

(3.11)

Этот коэффициент, называемый коэффициентом Кориолиса, учитывает неравномерность распределения скорости жидкости сечении реального потока. Если числитель и знаменатель в форму­ле (3.11) умножить на р/2, то станет очевидно, что коэффициент а есть отношение действительной кинетической энергии реального потока в данном сечении к кинетической энергии того же потока в том же сечении, но посчитанной по средней скорости жидкости в данном сечении. В этом заключается физический смысл коэффи­циента Кориолиса.

Алгебраическое выражение, ограниченное скобками в (3.10), принято называть средним значением полного напора в сечении реального потока, т.е.

H_ср=z+ (3.12)

Средний напор H_ср широко используется в практических расче­тах, так как является важнейшим параметром, характеризующим механическую энергию (или мощность) потока реальной жидко­сти. Для подтверждения этого решим уравнение (3.10) относительно H_ср с учетом (3.12). Тогда получим

Hср=. (3.13)

Из анализа зависимости (3.13) следует, что при постоянном расходе Q средний напор H_ср пропорционален мощности N ив пределах данного потока однозначно определяет эту мощность. Поэтому средний напор H_ср, вычисляемый с учетом неравномерно­сти распределения скоростей в сечении по формуле (3.12), в даль­нейшем будем использовать в качестве основного параметра, харак­теризующего механическую энергию потока реальной жидкости.

Учтем теперь потери энергии, возникающие при движении жид­кости. В реальных потоках из-за этих потерь среднее значение полного напора в в конечном сечении всегда меньше, чем в начальном сечении , т.е. H_ср1 > Н_ср2. Поэтому при записи уравнения баланса (средних напоров) в его правую часть добавляют слага­ете ∑h_пот учитывающее потери удельной энергии. Тогда урав­нение баланса принимает вид

Hср1 = Н_ср1 + ∑h_пот,

или с учетом (3.12)

z1++α1=z2++α1+∑h_пот (3.14)

Уравнение (3.14) носит название уравнения Бернулли для потока реальной жидкости.

При использовании этого уравнения в дальнейшем индексы «ср» будем опускать. Сравним уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости (3.6) и уравнение для потока реальной жидкости (3.14). Из этого сравнения следует, что в последнем уравнении дополнительно присутсвуют α и ∑h_пот.

При равномерном распределении скоростей по сечению потока α=1 (поток идеальной жидкости). В потоках реальной жидкости коэффициент Кориолиса в большинстве случаев лежит в пределах 1<α≤2.

Суммарная потеря полного напора ∑hпот на участке между на­чальным и конечным сечениями складывается из суммы потерь удельной энергии во всех гидравлических сопротивлениях, распо­ложенных на рассматриваемом участке потока. В гидравлике эти потери энергии принято делить на две группы: местные потери и потери на трение по длине. Местные потери h_M — это потери в местных (локальных) гид­равлических сопротивлениях, к которым относятся поворот, су­жение или расширение потока, а также различные гидравличес­кие устройства (вентили, жиклеры и т.д.). Потери в большинстве этих сопротивлений вызваны вихреобразованием. Как показывает практика, они пропорциональны квадрату скорости жидкости, а для оценки их величины используется формула Вейсбаха

= ζ (3.15)

где С, — безразмерный коэффициент, определяющий потери в дан­ном местном сопротивлении; v — средняя скорость в трубопрово­де, в котором установлено местное сопротивление.

Второй вид гидравлических потерь — потери на трение по дли­не — это потери, которые имеют место в длинных прямых трубах постоянного сечения. Потери на трение по длине вызваны как внутренним трением в жидкости, так и трением о стенки трубы, Эти потери пропорциональны длине трубы l и обратно пропорциональны ее диаметру d. Они имеют достаточно сложную зависимость от средней скорости жидкости v (это будет рассмотрено позднее), но во всех случаях для их оценки может быть использована универсальная для гидравлики формула Дарси

Hтр=λ (3.16)

где λ — безразмерный коэффициент потерь на трение по длине, который принято называть коэффициентом Дарси.

Следует отметить, что определение потерь энергии при расчете!! гидравлических систем является одной из наиболее важных проблем гидравлики.