V. Сдвиг, кручение. Сдвиг.

Пусть на вертикальную жестко заделанную у основания балку действует некоторая сила F(Рис.V.1). При этом слои материала пытаются сдвинуться, чем обусловлено появлением деформаций сдвига. Угол сдвигаγмал, вследствие чего мы можем принять его равным тангенсуγ, который определяется:

или из закона Гука:

, (V.1)

г

Рис. V.1

деτ– касательное напряжение;

G– модуль поперечной упругости (модуль упругостиIIроду), равный:

,

коэффициент Пуассона μдля стали – около 0,3, что означает:

.

Кручение.

Кручение– деформации, появляющиеся при действии на деталь момента, работающего в поперечной вертикальной плоскости и – стремящего повернуть сечение детали (балки) (Рис.V.2).

Рис. V. 2

При действии крутящего момента на жестко заделанную балку сечение балки поворачивается на максимальный угол γ, аналогичный углу поворота при сдвиге (Рис.V.3).

Рис. V. 3

При решении задач на сдвиг и кручение принимаются некоторые допущения (гипотезы):

- гипотеза плоских и жестких сечений, согласно которой при повороте сечения оно остается плоским и жестким;

- при скручивании деталь-цилиндр поворачивается и остается прямолинейной.

Расчет детали на скручивание.

Рассмотрим модель горизонтальной жестко заделанной балки и мысленно выделим из нее элементарный участок (Рис. V.4).

Рис. V.4

Если γ– угол поворота балки – постоянный, то со временем меняется и угол поворота сеченияdφ, тогда длина дугиbb' равна:

,

где ρ– расстояние от оси балки до элементарной площадки сечения (Рис.V.5, а).

а) б)

Рис. V.5

Тогда:

.

При использовании формулы (V.1), получим:

. (V.2)

Из закона распределения касательных напряжений следует, что крутящий момент dМ_zв сечении представляет собой равнодействующий момент касательных напряжений в сечении:

,

где dA– площадь элементарной площадки.

Тогда полный внутренний крутящий момент М_z:

или:

.

Из курса теоретической механики известно:

,

где I_ρ- полярный момент инерции сечения.

Тогда используя формулу (V.2), получим формулу распределения касательного напряжения по сечению:

.

Значение касательного напряжения определяется величиной радиуса ρот оси балки до элементарной площадки сечения (Рис.V. 6):

Рис. V. 6

если ρ=0, тоτ=0

если ρ=max=d/2, тоτ=max.

Внутренняя зона (ρ~0) не сопротивляется скручиванию, поэтому валы обычно делают с осевым отверстием, т.е. валы кольцевого сечения.

Оценка деформации вала заключается в определении угла поворота φвала под действием крутящего момента:

,

тогда:

.

Произведение I_ρ·Gявляется механической характеристикой материала и называетсяжесткостью.

I_ρ– геометрическая характеристика сечения, которая показывает закономерность распределения элементарных площадок по всему сечению, при этом описывает способность сечения сопротивляться скручиванию. Размерность полярного момента инерции сечения:

.

Размерность полярного момента выводится из расчета статистического момента сечения,

определяемым интегралом:

,

тогда:

,

для балки прямоугольного сечения основной геометрической характеристикой при расчете на прочность является осевой момент инерции сечения I_x(Рис.V. 5, б):

.

Если радиус ρразложить по теореме Пифагора:

,

то полярный момент инерции сечения равен:

,

тогда для круглого сечения:

.

Часто вместо полярного момента инерции сечения используется полярный момент сопротивления W_ρ:

.