III. Расчет деталей на прочность.

Одним из основных этапов расчета детали на прочность является оценка наиболее нагружаемого (опасного) сечения. Анализируется эпюр распределения внутренних силовых факторов – сил, моментов. Для этого используется анализ зависимости внутренних усилий от длины детали. Вид эпюра зависит от вида нагружения.

Растяжение или сжатие.

Рассмотрим один из простейших видов нагружения – растяжение (или сжатие) (Рис. III.1, а). Решение задачи начинается с оценки и определения реакций связей с помощью уравнений равновесия. Далее отдельно рассматриваютсягрузовые участки(участки с одинаковым принципом нагружения), в которых определяются внутренние усилия по длине балки методом сечений.

а) б)

Рис. III.1

Для консольной балки в точке заделки реактивной силой является R, которая определяется из уравнения равновесия:

,

откуда:

.

Рассмотрим 2 грузовых участка - IиII(Рис. 7, б).

Участок Iнаходится в равновесии, т.к. вся балка находится в равновесии, тогда:

,

,

откуда:

.

Продольное усилие N₁положительно, значит направление силы выбрано правильно и – данная сила является растягивающей, т.е. это случай растяжения.

Рассуждая аналогичным образом, получим для грузового участка II:

,

,

следовательно, усилие N₂на данном участке сжимающее.

При построении эпюра продольной силы Nнеобходимо учитывать правило знаков, согласно которому на эпюре проекцияNположительна, если вектор силы направлен от сечения, т.е.Nрастягивающая, еслиNсжимающая, то ее проекция на эпюре отрицательна.

Деформация ∆lбалки рассчитывается по закону Гука. Эпюр ∆lстроится с учетом того, что в точке заделки деформация балки равна 0.

Данная эпюра позволяет сделать вывод, что наиболее опасное сечение располагается в точке приложения силы F₂.

Кручение.

Кручение– деформация балки под действием момента, работающего в вертикальной поперечной плоскости (Рис.III.2).

Рис. III.2

Рассмотрим пример кручения жестко заделанной консольной балки (Рис. III.3, а). Разбив балку поперечными сечениями на грузовые участки и отбросив более нагруженные части, с помощью метода сечений построим эпюр крутящих моментов.

На участке I(Рис.III.3, б) равновесие будет обеспечиваться при взаимодействии внешнего и внутреннего моментов:

,

Учитывая правило знаков, согласно которому внутренний крутящий момент положительный, если, глядя на сечение, внутренний крутящий момент поворачивает сечение против часовой стрелки, получим:

или:

.

Для участка II:

.

Пусть M₁=1 кН·м,M₂=3 кН·м, тогда:

,

Отсюда следует то, что направление Т₂выбрано неправильно.

Изгиб.

Изгиб является наиболее сложным видом нагружения.Изгиб– деформация балки под действием моментов в вертикальной продольной или горизонтальной плоскостях (Рис.III.4).

Рис. III. 4

Рассмотрим изгиб консольно заделанной балки (Рис. III.5).

Рис. III.5

Изгибающий момент создается под действием концентрированной силы F. На балку действуют шарнирные опоры А и В, в связи с чем возникают реакции связей –R_АyиR_Вy(Рис.III.6).

Рис. III.6

Расчет балки на прочность сводится к построению эпюров внутренних силовых факторов – поперечной силы Qи изгибающего внутреннего моментаМ_х. Решение задачи начинается с определения всех реакций связей. Очевидно, что:

.

Используя метод сечений, мысленно рассечем балку сечениями и, откинув более нагруженную часть грузового участка (l₁илиl₂), рассмотримIиIIучастки.

Рис. III. 7

Рассмотрим участок I(Рис.III.7). Равновесие участка обеспечивается, если воздействию внешней реактивной силыR_Ayбудет противостоять внутренняя силаQ₁.Образованная пара сил создает момент, который должен быть скомпенсирован изгибающим моментомM_x1.

Тогда:

Условием неопрокидывания (неповорачивания) является нулевая сумма моментов внешних и внутренних сил относительно точки сечения:

,

тогда:

Если z=0, тоМ_х1=0, еслиz=l₁, тоМ_х1=R_Ay· l₁. Пустьl₁=1 м, тогдаМ_х1=R_Ay· l₁=1·1=1 кН·м. Внутренний моментМ_х1не является постоянным на участке, в связи с увеличениемz, и его проекция на эпюре – наклонная линия.

Аналогичные рассуждения проводятся для участка II(Рис.III.8) и для любых балок с любым видом нагружения.

Рис. III.8

Правила знаков.

Внутреннее поперечное усилие Qположительно, если справа от сечения векторQ направлен вниз, а слева от сечения – вверх, в противном случаеQпринимает отрицательное значение (Рис.III.9, а).

а) б)

Рис. III.9

Если внутренний изгибающий момент Мизгибает балку вниз, то на эпюре его проекция положительна, если вверх – отрицательна (Рис.III.9, б).

Замечание. Данное правило определения знакаМприменимо только при построении эпюра, при составлении уравнений равновесия используется зависимость знакаМот направления вращения момента.

Рассмотрим случай нагружения балки распределенной силой q(Рис.III.10).

Рис. III.10

Очевидно, что:

.

Рассмотрим участок слева от сечения (Рис. III.11).

Рис. III. 11

Условием вертикального равновесия является уравнение:

,

откуда:

если z=0, тоQ=-R_Ay, из чего следует то, что направление вектораQвыбрано неправильно. При увеличенииzвеличинаQизменяется, проекцияQявляется наклонной линией.

Условие неопрокидывания:

,

,

если z=0, тоМ_х=0.

Из рис. III.10 видно, что балка максимально изогнется в середине балки и, следовательно, опасное сечение – середина балки, тогда как в точкахАиВдеформации минимальны, тогда:

если z=, тоМ_х=max

если z=, тоМ_х=min.

Правила проверки коррекции построения эпюр.

1. В местах приложения концентрированных внешних силовых факторов на соответствующих эпюрах наблюдаются переходы, равные величине внешних факторов.

2. При наличии концентрированных внешних сил эпюр поперечного усилия Q– горизонталь, а изгибающего моментаМ– наклонная линия.

3. Если внешняя нагрузка распределена по длине балки, то проекция Qна эпюре – наклонная линия, изгибающего моментаМ– парабола, причем выпуклость параболы – против направления распределенного усилия.

4. Поскольку

,

,

то знак производной от М_хсоответствует знаку поперечного усилияQ.