10546

продифференцируем это равенство по x , имея ввиду, что t есть функция x

Аналогично можно найти производные более высоких порядков.

143

Лекция 20. Вектор-функция

20.1. Вектор-функция и её задание. К понятию вектор-функции

или векторной функции скалярного аргумента мы приходим, изучая переменный вектор. С переменным вектором мы уже имели дело, когда записывали уравнение прямой в пространстве в векторной форме (см. рис. 20.1)

r(t) = { x(t), y(t), z(t)}

r0

y

Суть в том, что координаты радиус-вектора r(t) есть некоторые функции переменного t . Поэтому естественно следующее определение векторфункции: если каждому значению вещественного переменного t из некоторого промежутка по определённому закону поставлен в соответствие вектор

z = z(t),

144

Таким образом, задание вектор-функции эквивалентно заданию трёх скалярных функций, являющихся координатами её радиус-вектора. Название

– годограф происходит от греческих слов hodos – путь и grapho – пишу. Началом всех векторов для построения годографа может служить любая фиксированная точка плоскости.

20.2. Предел, непрерывность и производная вектор-функции. Понятия предела, непрерывности и производной вектор-функции введём «покоординатно»,а именно: вектор-функция

r(t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k

в некоторой точке t0 имеет предел, непрерывна, дифференцируема, если соответственно имеют предел, непрерывны и дифференцируемы в этой точке функции x(t), y(t), z(t). При этом полагают

ся к нулю. В математической символике это определение записывается известным образом:

Геометрический смысл производной векторной функции скалярного аргумента близок к геометрическому смыслу производной числовой функции. Будем предполагать, что годограф вектор-функции в точке

M0 (x0 , y0 , z0 ) = M0 (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ))

имеет касательную, определяемую как предельное положение секущей M0M . Направление движения точки соответствующее возрастанию параметра t обозначим на рисунке стрелкой (см. рис. 20.2). Рассмотрим два случая, когда значение аргумента t0 получает как положительное, так и от-

правлен по секущей в сторону, соответствующую возрастанию аргумента

будучи коллинеарным вектору r в любом случае будет направлен вдоль секущей в сторону, соответствующую возрастанию параметраt .Поскольку секущая при t → 0примет положение касательной к годографу, то вектор

dr = lim r dt t→0 t

будет касательным вектором к годографу в данной точке. Итак, производная вектор-функции в данной точке – это вектор касательный к её годографу и направленный в сторону возрастания параметра.

Рис. 20.2

Пример. Годограф вектор-функции

r(t) = (t − sint) i + (1− cost) j

это циклоида, т.е. траектория фиксированной точки окружности единичного радиуса, катящейся по оси Ox без скольжения. Пусть t – время и окружность делает полный оборот за 2π секунд. Тогда вектор-функция

r(t) = (t − sint) i + (1− cost) j

задаёт не только траекторию движения точки, но и закон движения.

На рис.20.3 в точках траектории через каждые 2π/10 сек. построены векторы скорости точки

146

Рис.20.3

20.3. Уравнения касательной и нормальной плоскости к пространственной кривой. Пусть криваяLзадана параметрическими уравнениями

и имеет в рассматриваемой точкеM0 (x0 , y0 , z0 ) = M0 (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) касательную. Это значит, что у вектор-функции

r(t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k

существует производная в этой точке

Уравнение нормальной плоскости

−1(x − 0) + 0(y −1) + 0.5(z − π/4) = 0

или 8x − 4z + π = 0 (см.рис. 20.5)

Рис. 20.5

149

Лекция 21. Дифференциал

21.1. Дифференциал. Прежде, чем ввести понятие дифференциала, рассмотрим следующую задачу: пусть скорость велосипедиста в данный момент

Какое расстояние он проедет за следующие 30 секунд? Ответ, очевидно, не однозначный:

1)если он продолжает двигаться с той же скоростью, то пройденный путь

S= v0 t =100м;

2)если он «ускорился» (или движется под гору), то расстояние

S> 100м;

3)если устал (или движется в гору), то пройденное им расстояние

S< 100м.

Самый реальный прогноз (лучше иметь какую-то информацию, чем неопределённость)

S = v0 t = S′(t0 ) t ,

причём этот прогноз тем точнее, чем меньше промежуток времени t

.Например, за время t = 3cek. велосипедист проедет расстояние S =10м,и эта величина «почти» точная, даже если велосипедист созна-

тельно начнёт менять скорость своего движения.

Теперь рассмотрим математическую задачу. Пусть задана некоторая