10546

f ( x0 + x) = f (x0 )+ y

найти, хотя бы приближённо, приращение функции y. Оказывается, это можно сделать, если данная функция дифференцируема в точке x0

.Действительно, в этом случае в точке (x0, f (x0 )) существует касательная к графику функции y = f (x). Тогда приращение функции y можно приближённо заменить приращением ординаты касательной dy (см. рис. 21.1)

y ≈ dy = f ′(x0 ) x

Первое из них называют дифференциалом функции в данной точке и

обозначают символом

dy = f ′(x0 ) x .

Ввиду важности этого понятия, только что определённого кратко с помощью формулы (21.1), приведём его словесную формулировку, акцентирующую внимание на наиболее характерных свойствах дифференциала.

Дифференциалом функции в данной точке называется главная часть приращения функции в этой точке, линейная относительно приращения независимой переменной x .

Второе слагаемое (заметим, что оно может быть любого знака) представляет собой бесконечно малую величину более высокого порядка, чем

с этим дифференциал называют главной частью приращения функции. Убедимся на следующем примере, что дифференциал действительно

составляет «львиную» долю приращения функции. Площадь квадрата со стороной x равна S(x) = x2 . Вычислим приращение этой функции

S = (x + x)2 − x2 = 2x x + ( x)2 .

α( x)

x

S = x2

xx

Рис. 21.2

Из рисунка видно, что первое слагаемое, представляющее собой дифференциал, равно площади двух прямоугольников, а второе равно площади квадрата со стороной x.

Заменяя приращение функции дифференциалом, мы получаем универсальную формулу для вычисления значения функции в точке близкой к точке x0

f (x0 + x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 ) x .(21.2)

152

Отметим еще раз геометрическое содержание приближённого равенства (21.2), переписав его в других обозначениях

y − y0 ≈ f ′(x0 )(x − x0 ).

Отбрасывая в приращении функции бесконечно малую величину более высокого порядка, чем x, мы заменяем кривую в окрестности точки x0 её касательной в этой точке, т.е. линеаризуем данную функцию, заменяя её линейной функцией.

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен еёприращению, т.е.

Таким образом, дифференциал функции вычисляется по формуле d f (x) = f ′(x)d x.

Отсюда получаем выражение производной через дифференциалы

f ′(x) = d y . d x

Отметим еще так называемое свойство инвариантности дифференциала. Пусть сначала имеем функцию y = f (u), где u – независимая переменная. Тогда по определению

dy = f ′(u)du .

В случае же, когда u = ϕ(x) , используя формулу производной сложной функции, получим

dy = f ′(u)ϕ′(x)dx = f ′(u)du.

153

Таким образом, выражение для дифференциала не зависит от того, является ли аргумент независимой или зависимой переменной.

Дифференциалы высших порядков определяются по индукции: дифференциал n -го порядка равен дифференциалу от дифференциала (n −1)

-го порядка

dn x = d(dn−1x) .

Дляn = 2 имеем

(dx– единый символ, поэтому в равенстве (dx)2 = dx2 скобки опускают). Отсюда получим

f ′′(x) = d2 y . dx2

21.2. Правило Лопиталя. Франсуа маркиз де Лопиталь (1661-1704) математик-любитель, ученик Иоганна Бернулли, автор первого печатного учебника курса дифференциального исчисления.

Под «правилом Лопиталя» понимают один из способов вычисления некоторых пределов. Пусть речь идёт о вычислении предела отношения

lim f (x) ,

x→x0 g(x)

причём известно, что

Последнее равенство следует из непрерывности производных (предел непрерывной функции в точке равен её значению в этой точке). Отсюда по-

Отметим, что это правило остаётся справедливым при x0 = ±∞ и в случае

рывны, то правило Лопиталя можно применить к нахождению предела отношения производных. Например,

стей

[∞ − ∞], [0 ∞], [1∞ ], [00], [∞0 ]

могут быть приведены к указанным выше.

155

Например,

Неопределенности последних трех видов сводятся к неопределенности [0∞] с помощью логарифмирования. Например, получим второй замеча-

156

Лекция 22. Исследование функций и построение их графиков

В аналитическом выражении, которым чаще всего бывает задана функция, содержится вся информация о её свойствах. График функции делает эти свойства легко обозримыми. Поэтому нужно уметь строить график функции по формуле, которой она задана. Самый простейший приём – это построение «по точкам». Однако он требует большого объёма вычислений и при этом могут быть потеряны характерные особенности исследуемой функции. Приёмы исследования, основанные на дифференциальном исчислении, позволяют именно эти особенности и уловить. Так, например, один факт существования производной функции в точке x0 даёт возможность линеаризовать функцию в окрестности этой точки. Дифференцируемость функции, как мы выяснили ранее, равносильна представлению её приращения в виде

y = f ′(x0) x+α( x),

где α( x) – бесконечно малая более высокого порядка, чем x. Заменяя приращение функции y дифференциалом dy = f ′(x0 ) x , т.е. полагая

f (x) − f (x0 ) ≈ f ′(x0 )(x − x0 ),

мы заменяем в окрестности точки x0 кривую y = f (x) касательной к ней в этой точке. Нельзя ли это приближённое равенство превратить в точное? Такое равенство, выражающее приращение дифференцируемой функции через приращение её аргумента, было получено Лагранжем (1736-1813гг).

22.1. Формула Лагранжа имеет вид

f (x) − f (x0 ) = f ′(ξ)(x − x0 ) , x0 < ξ < x. (22.1)

За знак равенства в ней мы «заплатили» тем, что не знаем точного положения точки ξ. Эту формулу называют также формулой конечных приращений.

Из (22.1) следует, что на интервале (x0 ,x) существует точка ξ, в кото-

рой

f ′(ξ) = f (x) − f (x0 ) = tgα , x − x0

157

щением прямой AB параллельно себе. Формулу конечных приращений или формулу Лагранжа (22.1) мы будем неоднократно применять в дальнейшем.

22.2. Признак монотонности функции. Применим формулу Лагранжа к исследованию поведения функции на некотором промежутке (a,b) . Напомним, что функция называется возрастающей в этом промежутке,

f (x2 ) − f (x1) = f ′(ξ)(x2 − x1), x1 < ξ < x2 .

Поскольку правая часть этого равенства положительна, то f (x2 ) > f (x1), т.е. f (x) – возрастающая функция. В предположении, что производная неотрицательна ( f ′(x) ≥ 0), получим, что функция – неубывающая в этом промежутке, т.е. f (x2 ) ≥ f (x1).

Аналогичным образом можно получить признаки убывающей и невозрастающей функций: f ′(x) < 0 и f ′(x) ≤ 0 .

Геометрически эти признаки означают, что в точках возрастания функции касательная к кривой составляет острый угол с положительным

158

направлением оси абсцисс, а в точках убывания – тупой. В качестве примера найдем промежутки возрастания и убывания функции

Рис. 22.2

Следовательно, в промежутке (−∞,0) эта функция возрастает, а в промежутке (0,∞) – убывает.

22.3. Экстремумы. Под экстремумом функции в точке понимают её максимальное или минимальное значение в некоторой окрестности этой точки. Говорят, что точка x0 – точка максимума (минимума), если в неко-

торой ε −окрестности этой точки ( x − x0 < ε ) выполняется неравенство f (x) ≤ f (x0 ) , ( f (x) ≥ f (x0 )).

Как находить экстремумы, зная аналитическое выражение функции? Заметим, что точки экстремумов разделяют интервалы возрастания и убывания функции (точки максимумов) и наоборот (точки минимумов). Исходя из приведенных выше условий монотонности функции, естественно предположить, что в точках экстремумов производная функции обращается в ноль или не существует. Для дифференцируемых функций имеет место следующее.

Необходимое условие экстремума. Пусть функция имеет конечную производную в (a,b) и x0 – точка максимума (для определенности). Тогда производная в этой точке равна нулю f ′(x0 ) = 0 , т.е. касательная в точ-

159

ке экстремума горизонтальна (такие точки иногда называют стационарными).Действительно, по определению производной

f ′(x0 ) = 0

x0

Рис.22.3

Следующий пример показывает, что обратное утверждение не верно. Так, для функции y = x3 производная в начале координат равна нулю, касательная совпадает с осью абсцисс, но экстремума в этой точке нет.

x

Рис.22.4

Другие точки, в которых могут быть экстремумы, это точки, в которых производная либо не существует, либо обращается в бесконечность. В совокупности со стационарными эти точки называют критическими. При-

меры критических точек такого рода дают функции y = x и y = 3 x2 .

160