10546

dx

Пример. Найти интеграл I = ∫4cos x + 3sin x + 5 . Применяя универсальную подстановку t = tg x , получаем

Заметим, что применение универсальной подстановки часто приводит к достаточно громоздким выражениям, поэтому использовать ее нужно только после того, как исчерпаны другие возможности.

221

Лекция 31. Комплексные числа

31.1. Введение. Вспомним, как развивалось понятие числа, начиная от чисел натуральных до чисел действительных. Если операция сложения во множестве натуральных чисел выполнима без ограничений, то операция обратная сложению, т.е. решение уравнения a + x = b , выполнима только при b > a . Если отказаться от этого ограничения, то получатся «новые» числа – отрицательные. Так «родились» целые числа, во множестве которых сохранены все свойства суммы и обратная операция – разность, результатом которой является число x = b − a.

Во множестве натуральных чисел также не всегда разрешима задача, обратная операции умножения, т.е. решение уравнения a x = b. Для её решения необходимо и достаточно, чтобы b было кратно a. Возникла необходимость расширения множества целых чисел до чисел рациональных. В этом множестве обратная операция – деление, результатом которой является число x = b: a , разрешима с ограничением a ≠ 0. Для рациональных чисел сохраняются свойства операций сложения и умножения.

Оказалось, что во множестве рациональных чисел не всегда разрешима задача извлечения квадратного корня из положительного числа, на-

пример, неразрешимо уравнение x2 − 2 = 0. Число 2 , которым мы привычно обозначаем один из корней этого уравнения, число – иррациональное. Это число «должно» бы выражать длину диагонали квадрата со стороной равной единице. Но среди известных чисел, с помощью которых можно выразить длину диагонали, такого числа не нашлось. Такие числа назвали иррациональными, т.е. невыразимыми. Это открытие было сделано во времена Пифагора (580–500 г. до н.э.). Позднее, примерно через 1000 лет, латинские слова рациональный и иррациональный стали связывать со словом рацио – разум. В средневековой математической культуре возник новый термин вместо «иррациональный» – surdus (глухой или немой), т.е. такое число, когда немой его не может высказать другому, а второй (глухой) не может выслушать первого. Сопротивление «разума» исчезло, когда стали интерпретировать иррациональные числа бесконечными десятичными непериодическими дробями.

Комплексные числа, о которых пойдет речь, возникли из необходимости извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Определим «новое» число –«мнимую единицу»i , квадрат которого равен −1, т.е. i 2= −1. Расширим множество действительных чисел, вводя числа вида

31.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Комплексные числа удобно изображать точками плоскости xOy, с декартовой системой координат, которую в этом случае называют комплексной плоскостью. Ось абсцисс этой плоскости называют действительной осью

– ей отвечают действительные числа z = x, а ось ординат – мнимой осью. Числа z = iy , лежащие на мнимой оси, называют чисто мнимыми.

Два комплексных числа z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 равны тогда и только

тогда, когда x1 = x2 и y1 = y2

Сопряжённым к данному комплексному числу z = x + iy назовем число z = x − iy , которое обычно помечается чертой сверху. Сопряжённые комплексные числа отличаются знаком мнимой части. Если z = x − iy , то z = x + iy . Сопряжённые числа симметричны относительно действительной оси (см. рис. 31.1).

31.3.Тригонометрическая форма комплексного числа. Наряду с алгебраической формой комплексного числа z = x + iy введем его триго-

угол определяется с точностью до числа, кратного 2π,то выделим его главную ветвь 0 ≤ argz < 2π . Значение ϕ = arg zопределяется как решение системы уравнений

−1 4

Рис. 31.2

От алгебраической формы комплексного числа легко перейти к его тригонометрической форме

z = x + i y = rcosϕ + irsinϕ = r(cosϕ + isinϕ) .

Пример. Представить число z = −1− iв тригонометрической форме. Модуль r = −1− i = (−1)2 + (−1)2 = 2 . Аргумент находим, выбирая из решений уравнений

(см. рис. 31.2). Таким образом,

z = −1− i = 2(cos 5 π + isin 5 π). 4 4

31.4. Операции над комплексными числами. Начнем со сложения. Суммой (разностью) двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2

называется комплексное число z = z1 ± z2 = (x1 ± x2 ) + i(y1 ± y2 )

y

(x1 + x2 , y1 + y2 )

(x2, y2 )

(x1, y1)

x

Рис. 31.3

224

Заметим, что это соответствует правилу сложения векторов (см. рис. 31.3).

Произведением комплексных чисел называется число

(x1 + iy1) (x2 + iy2 ) = (x1x2 − y1y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1).

Найдём произведение двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

z1 z2 = r1(cosϕ1 +isinϕ1) r2(cosϕ2 +isinϕ2) =

= r1 r2 (cosϕ1 cosϕ2 − sinϕ1 sinϕ2 + i(sinϕ1 cosϕ2 + cosϕ1 sinϕ2 )) =

= rr1 2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i(sin(ϕ1 + ϕ2 )).

Таким образом, при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули нужно перемножить, а аргументы сложить.

Геометрический смысл умножения на комплексное число

z = r(cosϕ + isinϕ)

состоит в том, что происходит «растяжение» плоскости с коэффициентом rи поворот на угол ϕ . Благодаря этим свойствам комплексных чисел с их помощью удаётся решать задачи теории упругости, связанные с деформацией твёрдых тел, а также изучать движение жидкостей и газов.

Пример. Найти произведение чисел z1 = 2(cos(30 + isin30 )и

z2 = 2(cos(120 + isin120 ).Умножение в тригонометрической форме даёт

z1z2 = 4(cos(1500 + isin1500 ) = 4(− 3 + i 1) = −23 + 2i . 2 2

Рис. 31.4

225

В результате умножения вектора z1 на вектор z2 длина вектора z1 уве-

личилась в два раза и он «повернулся» на угол 120 (см. рис. 31.4).

После этого становится понятными правила умножения отрицательных чисел. Почему, например, (−1) (−1) =1? Действительно, представляя −1 в тригонометрической форме, получаем

(−1)(−1) = (cosπ + isinπ) (cosπ + isinπ) = (cos2π + isin2π) =1.

Также перестаёт быть «таинственной» формула i 2= −1, поскольку

i i = (cos π + isin π)(cos π + isin π) = (cosπ + isinπ) = −1. 2 2 2 2

Чтобы получить частное двух комплексных чисел, нужно умножить и числитель и знаменатель дроби на число сопряжённое знаменателю и отделить вещественную и мнимую части.

Найдём частное двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

=r1 (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + isin(ϕ1 − ϕ2 )). r2

Итак, модуль частного двух комплексных чисел равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Пример. Найти частное чисел z1 = −23 − 2 i и z2 = 1+ i3 . Представим каждое из этих чисел в тригонометрической форме:

226

Лекция 32. Решение алгебраических уравнений

32.1.Извлечение корня из комплексного числа. Число z называется корнем n -ой степени из комплексного числа a, если zn = a. Эта операция –обратная возведению комплексного числа в целую положительную степень. Во множестве вещественных (действительных) чисел эта задача

x2 +1= 0 корней не имеет.

Итак, пусть дано комплексное число a =| a |(cosα + isinα) и урав-

нение zn = a. Будем искать корни этого уравнения среди комплексных чисел, выраженных в тригонометрической форме z = r(cosϕ + isinϕ),r = ?, ϕ = ? В этой форме уравнение примет вид

rn (cosϕ + isinϕ)n =| a | (cosα + isinα)

или

rn (cosnϕ + isin nϕ) =| a | (cosα + isinα) .

Два комплексных числа в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на число, кратное 2π, т.е.

rn =| a |, nϕ = α + 2πk, k = 0, ±1, ± 2,….

Поэтому все корни имеют один и тот же модуль r = n| a| , а аргументы

этих корней определяются по формуле

ϕ = α + 2π k, k = 0,±1,± 2,….

nn

Убедимся, что число корней конечно и равно показателю n степени уравнения. Действительно, представляя искомые корни в тригонометриче-

видим, что в силу периодичности тригонометрических функций достаточно ограничиться значениями k = 0,±1,± 2,…,n −1. Если k целое отрицательное, то мы не получим новых корней, так как

z−k = zn−k , k =1,2,…,n −1.

228

В этом легко убедиться, прибавив 2π к значению аргумента корня z−k , что не меняет значений синуса и косинуса. Например,

Итак, мы получили n корней n-й степени из комплексного числа. Это – комплексные числа, модули которых равны r = n| a| , а аргументы опре-

деляются формулой ϕ = α + 2π k, k = 0,1, 2,…, n −1. Особенно наглядна

nn

их геометрическая интерпретация: все корни расположены на окружности,

положительным корнем из положительного числа. Если расширить его применение для изображения корня из комплексного числа, то он потеряет однозначность. Например,

32.2.Квадратное уравнение. Рассмотрим квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0, коэффициенты которого действительные числа. Формально написанная формула для вычисления его корней

x1,2 = −b ± b2 − 4ac (32.1) 2a

во множестве действительных чисел не имеет смысла, если подкоренное выражение = b2 − 4ac отрицательно. Но теперь мы умеем находить квадратные корни из отрицательных чисел. Пусть −d, (d > 0) некоторое отрицательное число. Его тригонометрическая форма −d = d(cosπ + isinπ) . Поэтому

Следовательно, если дискриминант уравнения отрицателен, то

b2 − 4ac = −(4ac − b2 ) = ±i| b2 − 4ac | .

Формула вычисления корней квадратного уравнения принимает вид

Пример. Решить уравнение z3 + 8 = 0. После разложения левой части уравнения на множители

230