10546

Тогда в плоскости x = x0 (см. рис. 36.3) мы получаем функцию одной переменной z(y) = f (x0, y). График этой функции – это сечение поверхности

y

l

e M (x, y) D

α

M0 (x0, y0 )

x

Рис. 36.4

261

направлению координатных осейOxи Oy соответственно. Оказывается, что для функции, имеющей непрерывные частные производные, производная по направлению выражается через частные производные в данной точке. Чтобы это доказать, нам необходимо научиться находить частные производные сложных функций.

262

Лекция 37. Производные сложных функций

37.1. Дифференцирование сложных функций. Будем предполагать, что функция z = f (x, y)имеет непрерывные частные производные в области D , а функции x(t) и y(t) имеют непрерывные производные в промежутке α ≤ t ≤ β. Тогда функция z = f (x(t), y(t)) – сложная функция од-

ной переменной t . Для производной dz этой функции справедлива слеdt

дующая формула

dz = ∂f dx + ∂f dy .(37.1) dt ∂x dt ∂y dt

Для доказательства рассмотрим приращение

z= f (x, y) − f (x0 , y0 ) = f (x, y) − f (x0 , y) + f (x0 , y) − f (x0 , y0 ).

Впервой из разностей изменяется только x , а во второй – только y ,

т.е.каждая из этих разностей – это функция одной переменной. Применим к ним формулу Лагранжа (формулу конечных приращений)

z = fx′(ξ, y)(x − x0 ) + fy′(x0,η)(y − y0 ),

t→ t0 t1,t2 → t0 x → x0 , y → y0 ξ → x0 ,η → y0 ,

сучетом непрерывности всех, входящих в это равенство функций, получаем

263

сложной функции одной переменной. В случае большего числа переменных, например, если z = f (u(t),v(t),w(t)), то

dz = ∂f du + ∂f dv + ∂f dw . dt ∂u dt ∂v dt ∂w dt

37.2. Вычисление производной по направлению. Теперь мы можем получить формулу для вычисления производной по направлению. В самом деле, согласно определению (37.1) производная по направлению совпадает

Обратим только внимание на тот факт, что в определении производной по направлению мы приближаемся к данной точке с одной стороны, т.е. имеем односторонний предел. Например, частная производная по отрицательному направлению оси абсцисс отличается знаком от частной производной по переменной x .

Аналогичным образом вводится понятие производной по направле-

Приведём без доказательства формулы для производной сложной функции z = f (u,v), u = u(x, y), v = v(x, y). В итоге

z = f (u(x, y),v(x, y)) = Φ(x, y)

будет функцией двух переменных и ее частные производные находятся по формулам

264

37.3. Дифференцирование неявных функций. Полученные нами правила дифференцирования сложных функций позволяют более просто, чем ранее, находить производные функций, заданных неявно. Пусть уравнениеF(x, y) = 0определяет y = ϕ(x)как некоторую дифференцируемую

которую функцию двух переменных, у которой существуют частные производные. Как их найти?

Продифференцируем тождество F(x, y,z(x, y)) ≡ 0 по переменной x , рассматривая его левую часть как сложную функцию F(u,v,w), где «промежуточные» функции имеют вид: u = x , v = y , z = z(x, y) :

∂F dx + ∂F dy + ∂F ∂z = 0.

∂x dx ∂y dx ∂z ∂x

Поскольку x и y независимые переменные, то dy = 0 и, следовательно, dx

Аналогично, из равенства

∂F dx + ∂F dy + ∂F ∂z = 0 ∂x dy ∂y dy ∂z ∂y

получаем

37.4. Градиент. При исследовании поведения функции двух переменных в данной точке естественно задаться вопросом: в каком направлении производная самая большая? Другими словами, в каком направлении у поверхности z = f (x, y) в данной точке самый крутой склон?

Для ответа на этот вопрос введем следующий вектор

265

называемый градиентом. Предполагаем, что этот вектор не нулевой. Тогда согласно (37.2) производная по направлению в данной точке равна скалярному произведению градиента в этой точке на единичный вектор заданного направления

где ϕ – угол между векторами, видно, что направление наибольшего возрастания функции должно совпадать с направлением градиента функции в данной точке, т.к. наибольшее значение правой части этого равенства достигается при ϕ = 0. Теперь становится понятным геометрический смысл градиента.

Градиент – это вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции в данной точке. Название происходит от латинского

gradior – идти вперёд. Термин и обозначение ввёл Максвелл, позаимствовав его из метеорологии. При первом появлении (1873г.) он намеревался дать название «скат» или «склон» скалярной функции f , используя слово slope, чтобы указать направление наиболее быстрого убывания функции f . Это свойство градиента применяется для численного поиска экстремумов функции многих переменных.

В трёхмерном случае градиент определяется как вектор, координаты которого есть частные производные скалярной функции u = F(x, y,z)

Выясним геометрический смысл модуля градиента функции двух переменных. Пусть e – единичный вектор направления наибольшего возрастания функции в данной точке. Тогда производная по этому направлению равна

отсюда следует, что модуль градиента – это «скорость» изменения функции в направлении наибольшего возрастания функции в данной точке. Как характеризует величина этой «скорости» поверхность z = f (x, y)в окрестности данной точки? Рассмотрим сечение поверхности вертикальной плоскостью, проходящей через точку M (x0 , y0 ) и вектор e (см. рис. 37.1).

266

Рис.37.2

Пример. Найти направление наибольшего возрастания функции

z= 4 − x2 − 0,25y2

икрутизну подъёма её графика в точке M0 (1, 2) .

Искомое направление будет указывать градиент этой функции в данной точке. Находим его (см. рис. 37.3)

y

β

α

M0 (1,2)

x

Рис.37.3

Крутизна подъёма поверхности в данной точке равна (см. рис. 37.4)

tgϕ = −2i − j = 5 ϕ ≈ 660 .

268

z

x

y

Рис. 37.4

37.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Пусть поверхность задана уравнением F(x, y,z) = 0. Будем предполагать, что в

Рассмотрим на поверхности некоторую кривую L, проходящую через точку M0 . Пусть она задана параметрическими уравнениями

269

Рассмотрим два вектора

перпендикулярны, т.к. их скалярное произведение равно нулю. Очевидно, что тождество (37.4) будет выполняться для любой кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку M0 . Итак, касательный вектор к любой кривой на поверхности, проходящей через точку M0 , перпендику-

лярен к фиксированному вектору gradF(x0, y0,z0 ) . Поэтому все эти векторы лежат в одной плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в данной точке (см. рис. 37.5).

(gradF)0

Прямая, перпендикулярная к касательной плоскости к поверхности и проходящая через точку касания, называется нормалью к поверхности.

Заметим, что вектор gradF(x0, y0,z0 ) можно рассматривать в качестве направляющего вектора нормали. Напишем её канонические уравнения

270