(x + 2)(x2 − 2x + 4) = 0
становится очевидным действительный корень уравнения x1 = −2 , а два комплексно сопряжённых корня находятся по формуле (32.2)
x2,3 =1± 
1− 4 =1± 
−3 =1± i
3 .
Геометрическая интерпретация корней данного уравнения дана на рис. 32.1.
32.3.Разложение многочлена на множители. Рассмотрим многочлен степени n
Pn (z) = a0 zn + a1zn−1 + …+ an−1z + an .
Число z1 , обращающее этот многочлен в нуль ( Pn (z1) = 0), называют корнем уравнения Pn (z) = 0.На протяжении многих веков делались попытки получить формулы для вычисления корней уравнений Pn (z) = 0 степени n ≥ 3. В 1545 г. итальянский математик, философ и врач Д. Кардано (1501-1576) опубликовал формулы решения кубического уравнения. Возник спор о приоритете с другим итальянским математиком Николло Тарталья (1499-1557). Ученик Кардано Л.Феррари (1522-1565) нашёл способ решения уравнений четвёртой степени путём сведения к решению кубического уравнения. Норвежский математик Нильс Абель (1802-1829) доказал, что алгебраические уравнения степени n > 4 неразрешимы в радикалах. Это надо понимать в том смысле, что корни уравнения не выражаются через его коэффициенты ak с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня.
Важный результат о существовании корней алгебраического уравнения носит название основной теоремы алгебры. Эта теорема гласит, что всякий многочленPn (z) степениn ≥1имеет по крайней один комплексный корень. Эта теорема впервые (не вполне строго) была доказана французским учёным Ж. Даламбером (1717-1783).Строгое доказательство дал Карл Гаусс (1777-1855) в 1799 году. Основная теорема алгебры даёт возможность представления многочлена в виде произведения множителей, содержащих его корни
Pn (z) = a0 (z − z1)(z − z2 ) (z − zn ) ,
откуда следует, что всякое алгебраическое уравнение имеет ровно n корней.
231
Некоторые из корней могут совпадать. Их называют кратными в отличие от простых, т.е. неповторяющихся корней. Кратность корня – это число его повторений в разложении многочлена на множители. С учётом кратности корней получим разложение многочлена
P (z) = a (z − z )r1 |
(z − z |
2 |
)r2 |
(z − z |
k |
)rk , |
n |
0 |
1 |
|
|
|
|
где z1,…,zk – различные корни уравнения Pn (z) = 0, а |
|
r1,…,rk – их кратно- |
сти, причёмr1 +…+ rk = n. Указанные разложения справедливы для многочленов, как с вещественными, так и с комплексными коэффициентами.
Отметим без доказательства, что если многочлен имеет вещественные коэффициенты, то наряду с комплексным корнем z = α + iβ многочлен обладает сопряжённым корнем z = α − iβ , причём той же кратности. Объединяя в разложении многочлена такие пары, получаем
(z − z)(z − z) = (z − α − iβ)(z − α + iβ) = z2 − 2αz + α2 + β2 = z2 + pz + q .
Таким образом, многочлен с вещественными коэффициентами раскладывается на линейные множители с вещественными корнями и квадратичные множители с парой комплексно сопряжённых корней. Переменную в случае многочлена с вещественными коэффициентами будем обозначать буквой x .Итак, многочлен с вещественными коэффициентами имеет разложение
Pn(x) = a0(x − x1)r1 (x − xk )rr (x2 + p1x + q1)s1 (x2 + pl x + ql )sl ,
где r1 +…+ rk + 2(s1 +…+ sl ) = n.
32.4. Разложение правильных дробей на простые дроби. Разложение многочлена на множители связано с задачей разложения правильной рациональной дроби
|
|
|
|
Qm (z) |
(32.3) |
|
|
|
|
|
Pn (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
на простые дроби следующих видов; |
|
|
|
|
A |
и |
Mx + N |
|
|
(k ≥1 и целое); |
|
(x − a)k |
(x2 + px + q)k |
|
|
|
232
где A, M,N, a, p, q –действительные числа, а квадратный трёхчлен x2 + px + q не имеет действительных корней. Оказывается, что всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших дробей. Этот алгебраический факт мы примем без доказательства.
Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе (m < n). В противном случае (m ≥ n) рациональная дробь называется неправильной. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена степени m− n(целая часть) и правильной рациональной дроби, т.е.
Qm (x) = Gm−n (x) + R(x) ,
Pn (x) Pn (x)
где степень многочлена R(x) меньше n. Для этого надо разделить числитель на знаменатель по правилу деления многочленов. Это деление осуществим «уголком», причем делим до тех пор, пока показатель степени x в остатке не окажется меньше показателя степени x делителя.
Вид разложения дроби (32.3) определяется корнями многочлена Pn (x).Если знаменатель Pn (x) имеет только действительные простые корни, то
Qm (x) |
= |
|
|
Qm (x) |
|
= |
A1 |
|
+ |
A2 |
+ ... + |
An |
|
|
(x − x )(x − x ) ... (x − x ) |
|
|
|
x − x |
P (x) |
a |
|
x − x |
x − x |
n |
n |
1 |
2 |
n |
|
|
1 |
|
2 |
|
n |
где A1, A2,..., An –действительные числа, которые следует найти.
Если действительный корень xi знаменателя дроби имеет кратность ki ,то в разложении правильной дроби на простейшие этому корню соот-
ветствует число дробей, равное |
ki : |
|
|
|
|
|
A1 |
|
+ |
A2 |
|
+ ...+ |
Ak |
. |
|
|
|
(x − x )2 |
|
|
x − x |
|
(x − x )ki |
|
|
i |
|
i |
|
i |
Если знаменатель содержит |
множителем квадратный трехчлен |
x2 + px + q , не имеющий действительных корней, то при разложении на простейшие дроби этому множителю соответствует дробь вида
233
Mx + N x2 + px + q .
Если знаменатель дроби имеет кратные комплексные корни, то множителю(x2 + px + q)l с комплексно сопряженными корнями соответствуют l дробей:
M1x + N1 |
+ |
M2x + N2 |
+...+ |
Ml x + Nl |
|
|
|
. |
x2 + px + q |
(x2 + px + q)2 |
(x2 + px + q)l |
234
Лекция 33. Определённый интеграл
33.1.Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.
Одной из первых задач, с которой началось формирование понятия интеграла, была задача вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми.
Задача Архимеда. Найдём площадь под параболой y = x2 , заданной
на отрезке |
[0, a]. Эту задачу решил в своё время Архимед. Разобьём отре- |
зок [0, a] |
на n равных частей x = a/n. Искомая площадь приближённо |
равна площади ступенчатой фигуры (см.рис.33.1).
y=x2 |
|
|
y=x2 |
h=a/n |
|
|
h=a/2n |
0 |
a |
0 |
a |
|
|
Рис.33.1 |
|
Следует ожидать, что с увеличением n её площадь будет приближаться к площади под параболой. Площадь ступенчатой фигуры равна
сумме площадей прямоугольников с основанием |
x и высотой, равной |
значению функции в точках дробления y = (k x)2, |
k =1,2,…,n. |
Итак,
S ≈ [( x)2 + (2 x)2 +…+ (n x)2 ] x = (1+ 22 + 32 +…+ n2 )( x)3
Для суммы квадратов натуральных чисел известна формула
1+ 22 + 32 +…+ n2 = n(n +1)(2n +1)
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
Находя предел, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(n +1)(2n +1) a3 |
|
a3 |
|
|
1 |
1 |
a3 |
S = lim |
|
|
|
|
= |
|
lim 1 |
+ |
|
2 + |
|
= |
|
. |
6 |
|
n |
3 |
|
|
|
3 |
n→∞ |
|
|
|
6 n→∞ |
|
n |
n |
|
Площадь криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [a,b] задана |
непрерывная положительная функция |
y = f (x). Фигуру, ограниченную |
осьюOx, прямыми x = a , x = bи графиком функции, называют криволинейной трапецией. Для приближенного вычисления площади этой криво-
линейной трапеции разобьём промежуток [a,b] произвольным образом на n частей (см. рис. 33.2)
y = f (x)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pk |
|
|
a = x0 x1 |
xk |
xk+1 |
xn = b |
|
|
|
Рис. 33.2 |
|
В каждом интервале длиной |
xk = xk − xk−1 |
произвольно выберем точку |
pk . Тогда площадь прямоугольника с основанием xk и высотой f ( pk ) будет равна f (pk ) xk , а площадь под кривой приближенно равна сумме
n
S ≈ Sn = ∑ f ( pk ) xk . (33.1)
k=1
Сувеличением n точность этого приближения будет возрастать при условии, что длины всех отрезков xk будут уменьшаться. Назовем площадью
криволинейной трапеции предел последовательности Sn , если он существует и не зависит от способа разбиения и выбора точек.
33.2. Понятие определённого интеграла. Во всех приведенных выше задачах мы осуществляли следующую процедуру: брали некоторую функцию f (x) , разбивали интервал её определения на n частей, в каждой части выбирали некоторую точку pk , составляли так называемую интегральную сумму(33.1) и, наконец, находили предел последовательности этих сумм при n → ∞ , когда длина наибольшего из отрезков дробления стремится к нулю. Получающийся при этом предел носит название определенного интеграла.
Определённым интегралом функции f (x) на промежутке [a,b] называется конечный предел интегральных сумм
n |
b |
|
lim∑ f (pk ) |
xk = ∫ f (x)dx, |
(λ = max xk → 0),(33.2) |
n→∞ k=1 |
a |
k |
если он существует и не зависит ни от способа разбиения промежутка [a,b], ни от выбора точек pk .
Ценность этого математического понятия состоит в том, что функцию f (x) можно «наполнять» разным содержанием: это может быть функция, определяющая границу криволинейной трапеции, и тогда определенный интеграл выражает площадь трапеции, или это может быть функция, определяющая линейную плотность неоднородного стержня, и тогда определенный интеграл выражает массу стержня.
Для существования определенного интеграла функция f (x) должна обладать некоторыми свойствами. Например, она должна быть ограниченной на[a,b]. В противном случае интегральную сумму за счёт выбора точек pk можно сделать как угодно большой. Оказывается, что достаточным условием существования определённого интеграла служит непрерывность f (x) на [a,b].
Теорема. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то определенный интеграл существует.
Примем ее без доказательства.
33.3. Основные свойства определённого интеграла. Обозначение определённого интеграла было введено Лейбницем. Знак интеграла – это стилизация первой буквы латинского слова summa.
Если подынтегральная функция отрицательна на всем промежутке интегрирования или на его части, то соответствующий множитель, входящий в интегральную сумму будет отрицательным. Если интеграл интерпретировать как площадь, то части кривой, расположенной под осью абсцисс будем приписывать отрицательную площадь (см. рис. 33.3).
|
|
|
b |
|
|
|
∫ f (x)dx = S1 + (−S2 ) + S3 |
|
|
|
|
|
|
a |
S1 |
|
S3 |
|
|
−S2 |
|
|
a |
b |
|
|
|
Рис. 33.3 |
Если отказаться от допущения a < b и принять a > b, то в интегральной сумме все разности xk будут отрицательными. Поэтому
ba
∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx
ab
a
В качестве определения полагаем также ∫ f (x)dx = 0.
a
Укажем основные свойства определённого интеграла, легко получаемые из его определения:
b b b
• ∫[ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫g(x)dx
a a a
bb
• ∫kf (x)dx = k∫ f (x)dx, k = const
aa
b |
c |
b |
• ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫g(x)dx, a < c < b |
a |
a |
c |
|
b |
|
• m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M(b − a), m ≤ f (x) ≤ M |
|
a |
|
Последнее свойство проиллюстрируем рисунком (см. рис. 33.4).
y
|
M |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
x |
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
Рис. 33.4 |
Иногда важно не столько найти точное значение интеграла, сколько получить его оценку. Указанное неравенство геометрически соответствует тому факту, что существует прямоугольник весь расположенный внутри криволинейной трапеции и прямоугольник – содержащий эту фигуру.
Среднее значение функции. Если даны n чисел a1, a2,…, an , то их средним (средним арифметическим) называют число
aср = a1 + a2 +…+ an . n
Что следует понимать под средним значением функции f (x) на отрезке [a,b]? Существует, например, понятие средней плотности неоднородного тела (например, средняя плотность Земли примерно равна5,5). Разделим отрезок [a,b] на n равных частей x1 = x2 =…= xn = (b − a)/n, возьмем в каждой части по точке Pk и составим сумму
|
f (P1) + f (P2 ) +…+ f (P1) |
|
|
1 |
n |
|
= |
|
∑ f (Pk ) xk |
|
|
|
|
b − a |
|
|
|
|
n |
|
|
|
k=1 |
Перейдём в этой сумме к пределу |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
1 |
b |
|
|
∑ f (Pk ) |
∫ f (x)dx = fñð. |
|
|
|
limn→∞ |
xk = |
|
|
|
b − a |
b − a |
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
a |
|
Таким образом, под средним значением функции на отрезке [a,b] понимают отношение интеграла функции по этому отрезку к длине этого отрезка. Геометрический смысл среднего значения функции становится ясным, если его определение записать в виде
b
fср.(b − a) = ∫ f (x)dx
a
Поскольку интеграл справа выражает площадь криволинейной трапеции, то левую часть равенства можно трактовать как площадь прямоугольника. Итак, среднее значение функции равно высоте прямоугольника, в основании которого лежит отрезок [a,b], равновеликого по площади криволинейной трапеции (см. рис. 33.7).
y = f (x)
fср. |
f(P0) |
|
|
a |
|
|
|
P0 |
b |
|
|
|
Рис. 33.5 |
Особенно важно, что в силу непрерывности функции на отрезке [a,b] найдётся такая точка P0 , что fср. = f (P0 ). Это даёт возможность выразить
значение интеграла через длину промежутка интегрирования и значение подынтегральной функции в некоторой (правда неопределённой) точке этого промежутка.
b |
|
∫ f (x)dx = f (P0 )(b − a), |
P0 [a,b] |
a |
|
Этот результат называют теоремой о среднем в интегральном исчислении.
33.3. Существование первообразной функции. В предыдущей лекции мы отметили, что интеграл непрерывной на [a,b] функции существует. Наша цель– связать понятия определённого и неопределённого интегралов и, тем самым, показать, как вычисляется определенный интеграл без вычисления интегральных сумм.
Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом
x
F(x) = ∫ f (t)d t ,
a
где подынтегральная функция f (x) непрерывна в промежутке [a,b]. Напомним, что переменная интегрирования – «немая», т.е. может быть обозначена любой буквой. Написанный нами интеграл – это некоторая функция F(x) верхнего предела x, и её геометрический смысл ясен из следующего рисунка:
|
|
|
|
f (P0 ) |
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
F(x) |
|
|
|
|
|
P0 |
|
x |
|
x |
x + |
|
a |
x |
b |
|
Рис. 33.6 |
|
|
|
Применяя теорему о среднем значении функции, запишем приращение в виде
|
|
|
|
x+Δx |
|
|
|
|
|
|
|
|
F = ∫ f (t)d t = f (P0 ( x)) |
x , |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
где точка |
P0 |
( x) [x,x + |
x], которое показывает, что |
lim F = 0, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
функция |
F(x) непрерывна. Оказывается, что функция |
F(x) не только |
непрерывна, но и дифференцируема. Действительно, |
|
|
lim |
F |
= lim |
f (P0 ( |
x)) |
x |
= lim f (P0 ( x)) = f |
(lim P0 ( x))= f (x) . |
x |
|
x |
|
x→0 |
x→0 |
|
x→0 |
x→0 |
|
В последнем равенстве мы существенно использовали свойство не- |
прерывности |
функции f (x) , поменяв местами знак предела и знак функ- |
ции. Таким образом, мы пришли к замечательному факту: производная от интеграла по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции от этого предела
