10546

Для каждой квадратной матрицы порядка n сумма произведений элементов какой-либо строки или столбца на соответствующие им алгебраические дополнения есть величина постоянная.

Вот это число и называется определителем, а способов его вычисления существует много и тот, который даётся введённым выше определением, просто один из них. Этот способ называется разложением по элементам строки или столбца.

Если в любой из приведенных формул вычислить алгебраические дополнения и произвести указанные действия, то получится другая формула вычисления определителя третьего порядка

(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 − a31a22a13 − a21a12a33 − a32a23a11 .

Заметим, что определитель равен алгебраической сумме произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.

Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными

выражается через определители третьего порядка по аналогичным формулам Крамера:

системы путем замены столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной на столбец правых частей. Если = 0 и существует хотя бы один из определителей x , y , z , отличный от нуля, то система несовме-

стна. Рассмотрение оставшегося случая = x = y = z = 0мы отложим до введения понятия ранга матрицы.

21

Лекция 3. Системы и определители матриц n-го порядка

При изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила.

И.Ньютон

3.1.Матричная запись системы линейных уравнений. Систему n

линейных уравнений cn неизвестными

Решить систему – значит найти матрицу неизвестных X .

Оставим пока вопросы о том, существуют ли решения системы (3.1) и сколько их, и вспомним, как решалось уравнение первой степени

a x = b .

Решение x = b получается умножением обеих частей уравнения на число, a

обратное числу a , то есть на число 1 = a−1 a

a−1 a x = a−1 b 1 x = b . a

Эти соображения приводят к мысли найти такую матрицу (в дальнейшем будем её обозначать A−1), которая при умножении на данную матрицу Aдавала бы единичную матрицу. Тогда система (3.1) была бы решена следующим образом:

22

A−1 A X = A−1 B E X = A−1 B X = A−1 B .

Поэтому естественным будет следующее определение.

Заметим, что определение обратной матрицы ещё не гарантирует её существования и не дает способа ее отыскания. Для нахождения обратной матрицы нам потребуется понятие определителя матрицы порядкаn .

3.2. Определители матриц порядка n и их свойства. Теперь мы в состоянии ввести понятие определителя матрицы n -го порядка

Если aij – выбранный элемент, то минор Mij – это определитель матрицы порядка (n −1), получаемой после вычеркивания в исходной матрице строки i и столбца j , а Aij = (-1)i+ j Mij –соответствующее алгебраическое

дополнение.

Определителем n -го порядка (n >1) называется число, равное сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения, то есть:

Естественно, возникает вопрос о корректности такого определения. Для n = 2 легко проверяется

23

общим множителем всех элементов строки и его можно вынести за знак суммы. Это свойство удобнее запомнить в «обратной» формулировке: если элементы строки матрицы имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя. Отметим, что умножение матрицы на число происходит по-другому

Свойство 4. Если все элементы какой-то строки матрицы равны нулю, то определитель равен нулю.

Чтобы убедится в этом, достаточно разложить определитель по элементам этой строки.

Свойство 5. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю.

Действительно, поменяем местами эти одинаковые строки. По свойству 2 определитель должен сменить знак, то есть = − , а с другой стороны, в нём ничего не изменилось, то есть = . Есть единственное число, для которого одновременно выполняются эти условия; это число равно нулю. Итак, = 0.

Свойство 6. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Вынося общий множитель элементов строки (коэффициент пропорциональности) за знак определителя, мы получаем определитель матрицы с двумя одинаковыми строками.

Свойство 7. Если каждый элемент какого-то столбца матрицы представляет собой сумму двух слагаемых, то для определителя этой матрицы верно равенство

Проверяем:

(a1′ + a1′′)b2 − (a′2 + a′′2 )b1 = a1′b2 + a1′′b2 − a2′b1 − a2′′b1 =

Свойство 8. Если к элементам некоторого столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и то же число, то величина определителя при этом не изменится

25

Этим свойством удобно пользоваться для «получения нулей» в определителе (чем больше нулей в строке или столбце, тем легче вычисляется определитель). Например, определитель четвёртого порядка матрицы так называемого треугольного вида вычисляется следующим образом:

(разложили по элементам первых столбцов).

Свойство 9. Если элементы какой-либо строки являются линейными комбинациями соответствующих элементов остальных строк, т.е. представимы в виде суммы их произведений на некоторые числа, то определитель равен нулю.

Например, определитель матрицы

равен нулю. Это следует из того, что согласно свойству 7 этот определитель равен

Заметим, что верно и обратное утверждение: если определитель равен нулю, то любая строка является линейной комбинацией остальных строк (доказательство этого утверждения отложим до изучения векторов).

Свойство 10. Сумма произведений элементов i -й строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов j -й (i ≠ j) строки

выполняется

a11A21 + a12 A22 + a13 A23 = 0. (3.3)

26

Для доказательства этого факта рассмотрим матрицу с двумя одинаковыми строками

С одной стороны, ее определитель равен нулю, а с другой стороны, раскладывая ее определитель по элементам второй строки, получим равенство (3.3).

Заметим, что для вычисления определителя порядка n необходимо вычислитьn определителей порядка (n −1) , каждый из которых, в свою очередь, вычисляется через (n −1) определитель порядка (n − 2) и т.д. Следовательно, определитель порядка n есть алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n сомножителей.

3.3. Обратная матрица. Напомним, что обратной матрицей к данной квадратной матрице A называется матрица A−1, которая при умножении, как справа, так и слева, на матрицу A даёт единичную матрицу

A−1 A = A A−1 = E .

где элементы обратной матрицы dij нужно отыскать. Найдём сначала элементы первого столбца d11,d21 и d31 . По правилу умножения матриц имеем

По формулам Крамера получим

27

где Aij – соответствующие алгебраические дополнения. Аналогичным образом получаем

Следует обратить внимание на то, что матрица в правой части (3.5) получена путем транспонирования матрицы алгебраических дополнений к элементам исходной матрицы A. Из формулы (3.5) видно, что для существования обратной матрицы необходимо, чтобы её определитель не обращался в нуль. Матрицы с определителем равным нулю называются вырожденными.

Итак, правило нахождения обратной матрицы (обращение матри-

цы):

(A)

28

Приведем другое обоснование формулы (3.5), определяющей обратную матрицу. Действительно, по определению обратной матрицы с учетом свойства 10для определителей получим

Вычисляем определитель матрицы (A) = 3.Составляем матрицу алгебраических дополнений

X = A−1 B .(3.6)

29

Алгоритм получения решения сводится к нахождению обратной матрицы A−1 и умножению её слева на матрицу-столбец правых частей B. Заметим, что матрица B начинает «работать» лишь на этапе умножения.

Установим связь на примере системы третьего порядка между правилом Крамера и нахождением решения с помощью обратной матрицы. Для этого заметим, что из (3.3) и (3.4) с учетом формулы разложения определителя по столбцу и использованных выше обозначений следует

что совпадает с формулами Крамера.

Пример. Основываясь на формуле (3.6), решим систему уравнений

Не следует «торопиться» делить каждый элемент матрицы на определитель (A). Вычисляем матрицу-столбец неизвестных

30