9278
.pdf
170
Глава 12. Электромагнитная индукция
В предыдущих главах было выяснено, что электрическое поле вызывает протекание электрического тока в проводнике и, вследствие этого, приводит к возникновению магнитного поля. Как будет показано ниже, возможны и обратные процессы, при которых магнитное поле порождает поле электрическое. Таким образом мы придем выводу о взаимной связи электрических и магнитных полей или к понятию электромагнитного поля.
§ 1. Закон электромагнитной индукции Фарадея
В 1831 году М. Фарадей на эксперименте установил, что при всяком изменении магнитного потока, пронизывающего площадь замкнутого контура, в этом контуре возникает индукционный электрический ток. Величина ЭДС индукции, вызывающей индукционный ток пропорциональна скорости изменения магнитного потока и в системе СИ может быть записана в виде:
εi = − dФ. dt
Индукционный ток возникает при относительном движении замкнутого контура и постоянного магнита, а так же без всякого движения при исчезновении магнитного поля электромагнита, в поле которого находится замкнутый контур с током.
Направление индукционного тока (или знак ЭДС индукции) определяется правилом Ленца, которое гласит: индукционный ток имеет такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока,
которое вызывает индукционный ток.
Например, если подносить к замкнутому контуру постоянный магнит (рис.1), через витки контура будет увеличиваться магнитный поток поля внешнего магнита. Тогда, согласно правилу Ленца, возникающий индукционный ток должен сам создавать магнитное поле направления, противоположного направлению магнитного
171
поля постоянного магнита. Именно в этом случае суммарное магнитное поле через контур будет уменьшено и магнитный поток ближе к исходному нулевому значению. В этом случае контур с током эквивалентен магниту, с полярностью, противоположной магниту, который подносят. В этом случае между магнитом и витком действует сила отталкивания. Следовательно, чтобы подносить магнит к витку, необходимо совершать работу против сил отталкивания. Эта работа выделяется в виде Джоулева тепла при протекании тока в витке.
Рис.1.
При обратном процесс, когда магнит начинают отдалять от витка, согласно закону Ленца, возникнет индукционный ток, «старающийся» сохранить прежнюю величину поля. В этом случае виток имеет такое же магнитное поле, как отдаляющийся магнит и между ними возникает сила притяжения, для преодоления которой также необходимо совершать работу. Таким образом, правило Ленца соответствует закону сохранения энергии.
Следует отметить, что любые равновесные физические системы стремятся сохранить положение устойчивого равновесия, а значит противодействуют внешним изменениям, которые стремятся вывести их из этого положения.
§ 2. Вывод выражения для ЭДС индукции для движущихся проводников
Снова вернемся к схеме с движущимся без трения проводником, рассмотренную в § 1 данной главы. Будем считать, что полное сопротивление цепи равно R, а ЭДС источника ε . Подсчитаем баланс энергии за время t перемещения проводника на расстояние r (рис.2).
172
Рис.2.
За это время источник совершает работу, равную ε × I × Dt , в результате этого в сопротивлении выделяется тепло I 2 × R × Dt и совершается работа по перемещению проводника с током в магнитном поле, равная I × DФ :
ε × I × Dt = I 2 × R × Dt + I × DФ.
Выражая из этого соотношения электрический ток, получим:
I = |
1 |
×[ε - |
Ф |
] = |
ε + ε |
i . |
|
Dt |
|
||||
R |
R |
Это соотношение имеет вид закона Ома для неразветвленной замкнутой цепи, но к ЭДС источника имеется добавка (ЭДС индукции), соответствующая закону Фарадея. Это означает, что в случае движущихся проводников закон Фарадея можно было получить аналитически, без всяких экспериментов. Отметим также, что согласно полученной формуле, ток в цепи будет отличным от нуля и без постоянного источника, однако в этом случае двигать проводник придется «руками».
В заключение параграфа рассмотрим вопрос о природе сторонней силы. Какая сила вызывает направленное движение электронов в проводнике?
При движении проводника у всех электронов появляется направленная скорость, равная скорости проводника (на рис.2 – вправо). При движении электронов перпендикулярно магнитному полю вправо, на каждый электрон будет действовать сила Лоренца, направленная вниз. Эта и сила вызовет направленное движение зарядов (или разность потенциалов на концах проводника, если цепь не замкнута). Направление соответствующего индукционного тока соответствует рис.2.
175
полностью определяет величину и направление вихревого электрического поля. Оно аналогично закону о циркуляции магнитного поля, о котором шла речь ранее:
R R R
В× dL = j × dS .
L S
Из аналогии уравнений ясно, что силовые линии вихревого электрического поля имеют такое же относительное расположение относительно вызывающего его магнитного поля, какое имеют линии вектора В, относительно вектора плотности тока.
Например, нам известно, что силовые линии магнитного поля, порождаемого прямолинейным проводником с током, представляют собой окружности, концентрические с осью проводника (рис.4а). Значит силовые линии вихревого электрического поля соленоида (магнитное поле которого имеет прямые силовые линии) имеют вид окружностей, концентрических с осью соленоида (рис.4а). Указанная аналогия иллюстрируется сопоставлением рис.4а и 4б. Рис.4б соответствует случаю возрастания магнитного поля в соленоиде.
а) |
б) |
|
Рис.4. |
Следует отметить, что вихревое электрическое поле порождается только переменным во времени магнитным полем, а магнитное поле вызывается как переменным, так и постоянным во времени током. В этом состоит отличие вихревого электрического и магнитного полей.
176
Вихревые электрические поля вызывают в проводящей среде протекание индукционных токов во всем объеме вещества. Нагрев металла вихревыми токами используется в металлургическом производстве в индукционных плавильных печах. В других случаях принимаются меры, чтобы ослабить нагрев материала, вызванный наличием индукционных токов. По этой причине сердечники трансформатора набирают из отдельных пластин.
§ 4. Явление самоиндукции. Индуктивность
Согласно закону Фарадея, любое изменение магнитного потока через сечение замкнутого контура приводит к возникновению ЭДС индукции в этом контуре. С другой стороны, ток, протекающий по контуру порождает магнитное поле и обуславливает наличие магнитного потока через сечение этого же контура. В этом случае магнитный поток будет изменяться при изменении тока в контуре. Возникающее индукционное электрическое поле, препятствуя, по закону Ленца, изменению тока в контуре. Если сила тока увеличивается, индукционное электрическое поле будет замедлять его нарастание; при уменьшении силы тока оно будет поддерживать ток. Можно сказать, что при изменении силы тока в контуре в нем возникает ЭДС индукции, препятствующая этому изменению. Это явление получило название самоиндукцией.
Магнитный поток, сцепленный с контуром, зависит не только от силы тока в нем, но и от размеров и формы контура, а также от магнитных свойств окружающей среды. Однако во всех случаях он пропорционален силе тока, протекающего в контуре, т.е.
Ф=LI,
где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура, и зависящий только от геометрических свойств контура и магнитных свойств окружающей среды. Подставляя магнитный поток в формулу для ЭДС индукции, получим:
|
177 |
|
|
||
εi |
= - |
d (LI ) |
= -L × |
dI |
. |
|
|
||||
|
|
dt |
dt |
||
Последнее соотношение справедливо, если индуктивность контура не меняется. Из приведенной формулы следует, что
L =| εi |
dI |
| . |
|
||
|
dt |
|
Очевидно, что L=1, если εi и скорость изменения тока равны соответствующим единицам. В системе СИ за единицу индуктивности принимают индуктивность такого контура, в котором при скорости изменения тока в 1 А за 1 с возникает ЭДС
самоиндукции в 1 В. Эту единицу именуют Генри (Гн): 1 Гн=1 ВА× с .
Вычислим индуктивность длинного соленоида. Магнитный поток через сечение контура равен Ф0 = В × S , где S – площадь сечения витка, В – индукция магнитного поля соленоида. Подставляя известное соотношение, получим Ф0 = μμ0 nI × S . Число витков соленоида N можно выразить через плотность намотки n, и длину обмотки l: N=nl. Тогда магнитный поток через все витки соленоида будет равен:
Ф = NФ0 = μμ0 n2 I × S ×l = μμ0 n2 I ×V ,
где V = S ×l – объем соленоида.
Теперь нетрудно выразить индуктивность соленоида:
L = Ф = μμ0 n2 ×V .
I
§ 5. Энергия магнитного поля
Пусть в контуре с индуктивностью L и течет ток силойI0 . При отключении источника постоянного тока, ток в цепи исчезает не мгновенно и лампочка, включенная параллельно индуктивности продолжает некоторое время гореть. Откуда берется энергия, выделяющаяся в лампочке после отключения источника? Очевидно,
178
что это энергия WМ магнитного поля, связанного с контуром. Для ее вычисления достаточно вычислить работу, совершенную током после отключения источника.
За время dt током совершается следующая работа:
dA = ε × I × dt = -I × L dI × dt = -L × I × dI . dt
Здесь мы использовали выражение для ЭДС самоиндукции. Заметим также, что работа положительна, поскольку изменение тока - отрицательно. Полная работа при убывании тока от I0 до 0 может быть вычислена интегрированием:
0 |
I 2 |
LI 2 |
. |
|
А = dA = -L × I × dI = -L |I0 = |
0 |
|||
|
0 |
|
||
I0 |
2 |
|
2 |
|
Поскольку, как было сказано, работа совершается за счет энергии магнитного поля и поэтому:
WM = LI02 .
2
Для энергии магнитного поля соленоида, подставляя выражение для индуктивности
L = μμ0 n2 ×V и исключая ток при помощи выражения для магнитной индукции
B = μμ0 nI , получим:
WМ = |
μμ |
0 n2 I 02V |
= |
B 2 |
|
×V . |
|
2 |
2μμ |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
Видим, что энергия магнитного поля соленоида пропорциональна объему соленоида, в котором и сосредоточено это поле. Плотность энергии магнитного поля wМ , т.е.
энергия, приходящаяся на единицу объема, равна:
w = |
WМ |
= |
B2 |
. |
|
|
|||
M |
V |
2μμ0 |
||
|
|
|
|
|
Полученная формула справедлива не только для соленоида, но может использоваться во всех случаях.
179
Примеры решения задач
Задача 1. Плоский контур с заданной площадью S вращается с угловой скоростью ω в однородном магнитном поле с индукцией B вокруг оси, перпендикулярной магнитному полю. Определить возникающую в контуре Э.Д.С. индукции.
Дано: Решение.
ω
S
B
E=?
Согласно определению, Э.Д.С. индукции определяется изменением магнитного потока поля B через замкнутую поверхность S со временем:
|
|
E |
|
= − |
d Φ (t ) |
. |
|
|
|
инд |
|
||||
|
|
|
|
|
dt |
||
|
|
|
|
|
|
||
Найдем магнитный поток: |
|
|
|
|
|
|
|
Ф = |
R |
= |
BdS cosα(t )= BS cosα(t ), |
||||
BdS |
|||||||
S (t ) |
|
|
S |
|
|
|
|
где α(t ) – угол между векторами B |
|
и n , т.е. угол поворота α (t )= ω ×t . |
|||||
Подставляя значение угла поворота в формулу для магнитного потока, и вычисляя производную по времени от этого выражения, получим окончательное значение ЭДС индукции:
εi = ω × BS sin (ω ×t ).
Ответ: •E = U sin(é )
Задача 2. Два параллельных металлических стержня лежат в однородной плоскости с бесконечным прямолинейным током I на расстояниях a и b по одну сторону от него (a<b). Вдоль стержней скользит перпендикулярно проводник AB со скоростью υ по