9278

130

измерения электрического заряда – Кулон, является производной и связана с величиной силы тока соотношением: 1 Кл=1А×1 с. Можно сказать, что Кулон – это заряд, который протекает за секунду через поперечное сечение проводника при токе один Ампер.

Сила тока является интегральной характеристикой (через полное сечение проводника) переноса заряда. В тех случаях, когда заряд переносится с разной скоростью в разных точках сечения проводника, необходима локальная характеристика переноса заряда.

Рассмотрим элементарную площадку dS на поперечном сечении провода. Определим величину элементарного тока dI, протекающего через эту площадку. Считая площадку dS достаточно малой, найдем локальную характеристику тока – плотность тока:

| j | = dI . dS

Плотность тока j – есть локальная (в точке) характеристика электрического тока, численно равная отношению элементарного тока dI, к элементарной площадке dS, через которую этот ток протекает, причем направление j совпадает с направлением движения положительных зарядов, а вектор dS считается направленным по нормали к поперечному сечению.

Найдем выражение для величины тока через плотность тока. Используя единичный вектор нормали к поперечному сечению провода n , можно записать выражение для элементарного тока:

вычисляется совсем просто I = j×S.

131

§ 2. Закон Ома для участка цепи

Основополагающий закон, связывающий разность потенциалов U на концах проводника и силу тока в нем имеет вид:

I =U .

R

Данное соотношение получило название закон Ома для участка цепи и является обобщением экспериментальных данных. Здесь R – характеристика электрических свойств провода, называемая электрическим сопротивлением. Согласно данной формуле, сопротивление в системе СИ должно измеряться в единицах В/А (Вольт делить на Ампер), которые имеют специальное название Ом.

Более универсальной величиной (определяющейся только веществом) является удельное сопротивление. Для однородного провода длиной L и площадью поперечного сечения S получим связь между сопротивлением проводника R и его удельным сопротивлением ρ дается соотношением:

R = ρL .

S

Удельное сопротивление проводников растет с увеличением температуры по закону: ρt = ρ0 ×[1+αR ×(t -t0 )] , позволяющему вычислить удельное сопротивление при

температуре t ( ρt ) по известному удельному сопротивлению при t=0

табличные величины, определяющиеся материалом провода).

Для однородного провода, в разных точках поперечного сечения которого скорость переноса заряда одинакова, можно получить связь плотности тока с электрическим полем. Поделим формулу закона Ома на S:

Величину, обратную удельному сопротивлению, называют удельной проводимостью: σ =1/ ρ . Если учесть, что направление тока совпадает с направленным движения положительных зарядов, а они движутся в направлении напряженности приложенного электрического поля, то можно записать закон Ома в

локальной (дифференциальной) форме:

132

j = σ E .

Читается закон так: плотность тока в веществе пропорциональна напряженности

электрического поля.

§ 3. Закон Джоуля -Ленца

Какая энергия выделяется в проводящем веществе при протекании по нему электрического тока? Ответ на этот вопрос можно получить из анализа закона Ома для участка цепи.

Предположим, по проводнику с сопротивлением R протекает ток I. Какая тепловая мощность выделяется в проводнике? Запишем закон Ома в виде:

U = I × R .

Здесь U – работа электрических сил, которую они совершают над зарядом 1 Кулон, протекающим по проводнику. Совершение работы, как известно, из механики, приводит к увеличению энергии. Но заряды в проводнике не увеличивают скорость движения, иначе бы сила тока возрастала со временем. На что же тратится работа электрических сил? На нагревание проводника. Следовательно при протекании по проводнику заряда в 1 Кулон в проводнике выделяется количество теплоты Q1 = Q / q =U = IR . Чтобы получить тепловую мощность надо умножить величину Q1 на заряд, протекающий за 1 секунду, т.е. на силу тока I : P= Q1 I. Проделав эти несложные вычисления получим:

P =U × I = I 2 × R.

Это выражение – закон Джоуля – Ленца для участка цепи.

Тепловая мощность выделяется в каждой точке проводника. Величина мощности, выделяющейся в единице объема проводника называется объемной плотностью

тепловой мощности ωT :

ωT = dP dV .

Поделив полученное уравнения Джоуля – Ленца для участка цепи на объем

133

проводника LS и, используя закон Ома в локальной форме, для объемной плотности тепловой мощности, получим:

wT = ρ × j2 .

Данное соотношение получило название закон Джоуля-Ленца в локальной (дифференциальной) форме. Эта формула позволяет вычислить энергию, выделяющуюся в единицу времени в единичном объеме проводника (в системе СИ в

Дж/(м3 с)).

§ 4. Источники тока. Закон Ома для замкнутой неразветвленной цепи

Источниками электрической энергии называют устройства,

поддерживающие разность потенциалов в проводнике и обеспечивающие

электрический ток в присоединенных к ним потребителях (нагрузке).

Электрической цепью (полной) называется совокупность источника электрической энергии, потребителя электрической энергии, соединительных проводов и управляющих элементов (включатели, регуляторы, предохранители и т.д., рис.2). Электрическая цепь должна быть замкнутой.

Рис.2. Пример полной электрической цепи

Источник, потребитель и провода на данной схеме соединены последовательно, поэтому ток через все элементы одинаковый. В противном случае заряд в каком-то сечении цепи накаливался, что привело бы к изменению потенциала, а вслед за ним и тока.

Источник имеет две основные характеристики электродвижущая сила (ЭДС) и

внутреннее сопротивление r.

ЭДС (на схемах обозначается ε ) численно равна работе “сторонних” сил по

различной природы (химическими, магнитными). Они необходимы для поддержания постоянной разности потенциала на клеммах источника, т.е. для переноса положительного заряда внутри источника от отрицательной клеммы к положительной. Действие сторонних сил эквивалентно наличию поля сторонних сил

с эффективной напряженностью действующей внутри источника и

направленной к положительной клемме:

ε = EСТ × dl .

Интегрирование производится от отрицательной до положительной клеммы, а вне источника сторонние силы обращаются в ноль.

Рис.3. Направления напряженности стороннего и электрического поля

Сказанное иллюстрирует рис.3, на котором изображены направления стороннего и электрического поля. Видим, что сторонние силы направлены внутри источника против электрического поля.

Сопротивление нагрузки на схемах часто обозначается R (заглавной, иногда с индексами).

В замкнутой цепи, изображенной рисунке, при протекании тока совершают работу как сторонние, так и электрические силы. Будем обходить эту цепь от положительной клеммы источника и подсчитаем работу всех сил при перемещении

направлении сторонних сил. Полная работа А по перемещению единичного заряда по замкнутой цепи равна А = ε . Работа электрических сил равна нулю, потому что эти силы потенциальны.

Согласно закону Ома, работа по перемещению единичного заряда на участке цепи равна произведению тока на сопротивление. Полное сопротивление рассмотренного участка равно R+r. Таким образом можно записать соотношение:

которое является законом Ома для полной неразветвленной цепи.

В литературе встречается подразделение источников электрической энергии постоянного тока на два класса: источники напряжения и источники тока.

Источник напряжения – источник электроэнергии, имеющий малое

внутреннее сопротивление ( r << R ). Закон Ома для такой цепи имеет вид

ε≈ IR .

Вэтом случае напряжение на нагрузке равно ЭДС, т.е. постоянно, а величина тока обратно пропорциональна сопротивлению нагрузки.

Источник тока – источник электроэнергии, имеющий большое внутреннее

сопротивление ( r >> R ). Для такого подключения закон Ома будет иметь вид:

I = ε = const , поскольку определяется характеристиками источника. Напряжение на r

нагрузке (IR) в этом случае будет меняться пропорционально ее сопротивлению. Короткое замыкание — это такое подключение источника, когда сопротивление проводов и нагрузки равно 0. Формула тока короткого замыкания I КЗ имеет вид

I КЗ = ε . Чем ближе реальный источник к модели источника напряжения, тем меньше r

для него r и тем более для него опасно короткое замыкание. Для источников тока короткое замыкание не опасно.

136

§ 5. Энергетические характеристики замкнутой цепи КПД источника

Коэффициентом полезного действия источника (КПД) называют отношение мощности, выделяющейся в нагрузке к полной мощности источника. Для цепи, рассмотренной в предыдущем параграфе полная мощность источника может быть найдена если работу источника над единичным зарядом (равнуюε ) умножить на заряд, протекающий через источник в единицу времени (равный I):

PИСТ = ε × I .

Очевидно, что полная мощность источника не является постоянной для данного источника величиной, а зависит также от параметров цепи. Поскольку источник предназначен для создания тока в нагрузке, полезной мощностью называют мощность, выделяющуюся в нагрузке:

PН = I 2 × R .

Таким образом, для КПД (η ) источника можно получить следующее выражение:

Проанализируем зависимость КПД от характеристик электрической цепи. Для рассматриваемой цепи существует связь между силой тока и параметрами элементов, включенных в цепь (закон Ома): ε = I ×(R + r) . Причем для данного источника значения ЭДС и внутреннего сопротивления являются фиксированными. Оставшиеся две величины – сила тока I и сопротивление нагрузки R могут связаны между собой. Возьмем в качестве основной величины сопротивление нагрузки, а силу тока исключим из полученных соотношений при помощи закона Ома. В результате получим:

Видим, что КПД равен нулю при R=0, а затем монотонно возрастает, стремясь к единице при R → ∞. Заметим, однако, что КПД, равный 1 соответствует отсутствию тока в цепи (I=0, согласно закону Ома при R → ∞). Этот случай соответствует полному отсутствию работы источника, а также полной и полезной.

(короткое замыкание), когда η = 0 . С увеличением сопротивления нагрузки PИСТ

монотонно убывает до нуля (бесконечное сопротивление нагрузки и отсутствие тока в цепи).

Более сложная зависимость от сопротивления нагрузки соответствует полезной мощности. При R>>r можно пренебречь величиной r в знаменателе выражения для PН и убедиться, что она убывает с ростом сопротивления нагрузки. С другой стороны,

при R=0, полезная мощность рана нулю. Так как мощность всегда положительна, это означает, что при промежуточных значениях R она достигает максимального значения. В точке максимума производная функции PН (R) обращается в ноль.

Вычислив эту производную, и приравняв ее нулю, найдем, что точка максимума соответствует R=r. Значит полезная мощность максимальна, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника, а значение максимальной

полная мощность источника в этом случае в два раза больше полезной.

Таким образом видим, что максимальная мощность источника достигается, когда полезная мощность равна нулю, а максимальная полезная мощность достигается при КПД, равном 1/2 и мощности источника равной половине максимальной.

§ 6. Правила Кирхгофа

Каким образом получить уравнения связи между отдельными характеристиками в сложных (разветвленных) цепях, состоящих из нескольких источников и потребителей электроэнергии? Эту задачу можно решить для любой цепи постоянного тока при помощи правил Кирхгофа. Определим некоторые термины.

Узел – точка, к которой присоединено больше двух проводов. Ветвь – участок цепи, на котором нет узлов. Контур – замкнутая часть цепи.

138

1-й закон Кирхгофа:

Сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из этого узла.

Iвход = Iвых .

Это можно сформулировать иначе:

Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле равна нулю ( (±I i ) = 0 ), причем

токи, входящие в узел берутся со знаком минус, а выходящие из него – со знаком плюс.

Сформулированный закон является прямым следствием закона сохранения электрического заряда. Он формулирует условия, необходимые для того, чтобы заряд не накапливался в узле.

2-й закон Кирхгофа справедлив и для любого контура разветвленной цепи.

Сумма (алгебраическая) ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжения на

всех элементах данного контура

(±εi ) = (±I j R j ) ,

где ßà ток, текущий по сопротивлению.

Правило знаков подразумевает, что выбирается (произвольно) направление обхода контура.

∙ЭДС > 0, если при обходе контура ЭДС проходится от «–» к «+» (движение в направлении действия сторонней силы; в противоположном случае ЭДС берется со знаком минус.

∙Аналогично, знак падения напряжения выбирается «+», если ток в элементе контура совпадает с направлением обхода контура и минус в противном случае.

Рекомендации по практическому применению. Перед применением правил Кирхгофа необходимо расставить токи на схеме цепи. Для этого в каждой ветви необходимо указать направление тока стрелкой и ввести его буквенное обозначение. При этом стрелку можно ставить в произвольном направлении, поскольку в сложной цепи направление токов может меняться в зависимости от параметров цепи и угадать истинное направление бывает невозможно. Если ток течет в направлении, противоположном стрелке, то в результате решения уравнений Кирхгофа

139

соответствующий ток будет иметь отрицательное значение.

Если цепь имеет N узлов, первое правило Кирхгофа необходимо записать для N-1 узла. Последнее уравнение будет являться следствием уже известных. Остальные независимые уравнения могут быть получены с использованием второго закона Кирхгофа. При этом каждый новый контур, для которого применяется этот закон, должен содержать хотя бы одну новую ветвь, не входящую в другие контуры.

Если придерживаться этих рекомендаций, то число полученных независимых уравнений будет равно числу ветвей цепи (или числу токов). Для определения неизвестных токов по заданным характеристикам элементов цепи необходимо решить линейную алгебраическую систему уравнений. Число уравнений равно числу неизвестных и равно числу ветвей. Решение этой задачи не представляет принципиальных трудностей (например, можно решать уравнения методом Крамера). Таким образом, законы Кирхгофа позволяют рассчитать произвольную разветвленную цепь.

Пример расчета разветвленной схемы, изображенной на рис.4. Предположим заданы значения ЭДС источников и сопротивления всех элементов. Необходимо определить токи во всех ветвях.

Рис.4. Разветвленная электрическая цепь

1. Расставляем стрелки направлений токов в каждой ветви (направления произвольные) и вводим буквенные обозначения токов (рис.4). Схема содержит два узла. Для узла «А» применяем первое правило Кирхгофа:

I − I1 − I 2 = 0 .

Если применить это правило для узла «Б», то получим то же самое соотношение,